Вятский государственный университет
Опубликован: 21.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1738 / 311 | Оценка: 4.39 / 4.31 | Длительность: 06:24:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 2:

Алгебра множеств

< Лекция 1 || Лекция 2: 12 || Лекция 3 >
Аннотация: Приводятся сведения об алгебре множеств и основные законы. Даются возможные способы доказательств законов. Рассматривается нахождение мощности множеств, являющихся объединением нескольких множеств. Даются понятия вектора и прямого произведения множеств

Алгеброй А называется совокупность множества М с заданными в нем операциями S: A=<M,S>, где М - носитель, S - сигнатура.

Алгеброй множеств A называется совокупность булеана универсального множества с заданными в нем операциями:

A_k = < \beta(Е), S_M >,

где S_M - множество операций: пересечение, объединение, дополнение, разность.

Законы алгебры множеств

Для операций объединения, пересечения и дополнения выполняются следующие законы:

  1. коммутативности:
    А \cup В = В \cup А;   А \cap В = В \cap А;
  2. ассоциативности:
    А \cup ( B \cup C ) = ( A \cup B ) \cup C,
    A \cap ( B \cap C ) = ( A \cap B ) \cap C;
  3. дистрибутивности:
    • пересечения относительно объединения:
      A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap C );
    • объединение относительно пересечения:
      A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C);
  4. идемпотентности:
    A \cup A = A,	A \cap A = A;
  5. действия с универсальным и пустым множествами:
    A \cup \emptyset = A,	A \cap \emptyset = \emptyset,
    A \cup E = E,	A \cap E = A;
    A \cup \overline A = E,  	A \cap \overline A = \emptyset;
  6. де Моргана:
    \overline {A \cap B}  = \overline A  \cup \overline B,
    \overline {A \cup B}  = \overline A  \cap \overline B ;
  7. двойного дополнения:
    \overline{\overline A}  = A.

Доказательство законов можно выполнить графически или посредством последовательности утверждений типа "если Р, то Q ", которое записывается как "P =>Q".

Докажем закон дистрибутивности:

A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C).

Графическое доказательство состоит в построении диаграмм Эйлера-Венна для правой и левой частей ( рис. 2.1).

Доказательство

Если х \in A \cap (B \cup C) => x \in A и x \in (B \cup C) => x \in A и (x \in B \mbox{ или } x \in C) => (x \in A \mbox{ и } x \in B) или ( x \in A \mbox{ и } x \in C) => 
(x \in A \cap B) или (x \in A \cap C) => x \in (A \cap B) \cup (A \cap C).



Рис. 2.1.

Таким образом, A \cap (B \cup C) \subseteq (A \cap B) \cup (A \cap C). Необходимо доказать включение в обратную сторону:

x \in ( A \cap B ) \cup ( A \cap C ) => (x \in A \cap B) или (x \in A \cap C) =>

(x \in A { и } x \in B ) или ( x \in A \mbox{ и } x \in C) => x \in A и (x \in B \mbox{ или } x \in C) => x \in A и x \in (B \cup C) => x \in A \cap (B \cup C).

Следовательно, A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C).

Докажем закон де Моргана

\overline {A \cap B}  = \overline A  \cup \overline B.

Графическая интерпретация представлена на рис. 2.2.



Рис. 2.2.

Рассмотрим графическую интерпретацию левой части закона де Моргана, в которой можно выделить три составные части ( рис. 2.3).




Рис. 2.3.
x \in \overline {A \cap B} \Rightarrow x \in (\overline A \cap B) \cup (A \cap \overline B ) \cup (\overline A \cap \overline B ) \Rightarrow

Используя закон идемпотентности \left[ х \cup х = х \right]} , получим:

x \in (\overline A \cap B) \cup ( \overline A \cap \overline B ) \cup (A \cap \overline B ) \cap ( \overline A \cap \overline B ) \Rightarrow
x \in ( (\overline A \cap B) \cup ( \overline A \cap \overline B ) ) \cup ( (A \cap \overline B ) \cup ( \overline A \cap \overline B ) ) \Rightarrow

по закону дистрибутивности

x \in ( (\overline A \cap ( В \cup \overline B ) ) \cup (\overline В \cap (А \cup \overline А )) \Rightarrow x \in ( \overline А \cap Е ) \cup (\overline В \cap Е) \Rightarrow
х \in \overline A \cup \overline B.

Таким образом, \overline {A \cap B} \subseteq \overline A \cup \overline B.

Аналогично доказывается включение в обратную сторону:

x \in \overline A \cup \overline B \Rightarrow x \in \overline {Е \cap A \cap B} \Rightarrow x \in \overline {Е \cap A \cap Е \cap B} \Rightarrow x \in \overline {A \cap B}.

Следовательно,

\overline {A \cap B} = \overline A \cup \overline B.
< Лекция 1 || Лекция 2: 12 || Лекция 3 >
Владислав Бариков
Владислав Бариков

Непонятно почему в примере - отношение t НЕ транзитивно, ведь пары (2,4) и (4, 6) влекут (2, 6) и эта пара имеет общий делитель 2.​

Владислав Кияновский
Владислав Кияновский
Израиль, Ашдод
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига