Вятский государственный университет
Опубликован: 21.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1738 / 311 | Оценка: 4.39 / 4.31 | Длительность: 06:24:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 1:

Теория множеств

Лекция 1: 12 || Лекция 2 >

Операции над множествами

Рассмотрим такие операции над множествами, как объединение, пересечение, разность, симметрическая разность и дополнение.

Объединением множеств А и В ( А \cup В ) называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. ( рис. 1.3 ).


Рис. 1.3.
А \cup В = \left\{ {x\left| x \in A или x \in B} \right\}.

В общем случае операция объединения может быть использована для нескольких множеств: A \cup B \cup C \cup D или S = \left\{ { A_1, A_2, ..., A_k } \right\}.

Последнее можно представить в следующем виде:

S = \bigcup\limits_{i = 1}^k {A_i } ,

где k - количество объединенных множеств.

Пример. Даны два множества: A = \left\{ {1, 2, 4, 6} \right\} и B = \left\{ {0, 3, 4, 6} \right\}. Найдем множество C = A \cup B. C = \left\{ {0, 1, 2, 3, 4, 6} \right\}.

Пересечением множеств А и В ( А \cap В ) называется множество, состоящее из элементов, входящих как в множество А, так и в множество В ( рис. 1.4 ): А \cap В\left\ =\left\{ {x \mid x \in A \mbox{ и } x \in B} \right\}.


Рис. 1.4.

Операция пересечения так же может быть многоместной: A \cap B \cap C \cap D или

S = \bigcap\limits_{i = 1}^k {A_i } ,

где k - количество объединенных множеств A_1, A_2, ....., A_k.

Пример. Даны множества A = \left\{ {1, 2, 4, 6} \right\} и B = \left\{ {0, 3, 4, 6} \right\}. Найдем их пересечение: D = A \cap B = \left\{ {4, 6} \right\}.

Разностью множеств А и В ( A\backslash B ) называется множество всех элементов множества А, которые не содержатся в В ( рис. 1.5,а ):

A \backslash B = \left\{ {x \mid  x \in A \mbox{ и } x \notin B} \right\};   B \backslash A = \left\{ {x \mid  x \in B \mbox{ и } x \notin A} \right\} ( рис. 1.5,б ).


Рис. 1.5a.

Рис. 1.5б.

Пример. Даны два множества А и В. Найдем их разность. A \backslash B = \left\{ {1, 2} \right\}; B\backslash A = \left\{ {0, 3} \right\}.

Симметричная разность множеств А и В, ( А \Delta В ): А \Delta В = (А \cup В) \backslash (А \cap В) = \left\{ {0, 1, 2, 3, 4, 6} \right\}\backslash \left\{ {4, 6} \right\} = \left\{ {0, 1, 2, 3} \right\} ( рис. 1.6).


Рис. 1.6.

Дополнением (до универсального множества ) множества А называется множество всех элементов, не принадлежащих А, но принадлежащих универсальному множеству ( рис. 1.7).

\overline А = \left\{ { x \mid x \notin A \mbox{ и } x \in Е} \right\}.

Рис. 1.7.

Пример. Пусть универсальное множество Е состоит из букв русского алфавита, А - множество гласных букв, тогда \overline A - множество согласных букв и букв ь и ъ.

Приоритет выполнения операций: сначала выполняются операции дополнения, затем пересечения и только потом объединения и разности. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.

Лекция 1: 12 || Лекция 2 >
Владислав Бариков
Владислав Бариков

Непонятно почему в примере - отношение t НЕ транзитивно, ведь пары (2,4) и (4, 6) влекут (2, 6) и эта пара имеет общий делитель 2.​

Владислав Кияновский
Владислав Кияновский
Израиль, Ашдод
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига