Вятский государственный университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 2634 / 494 | Оценка: 4.31 / 3.94 | Длительность: 06:04:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 5:

Типы графов

< Лекция 4 || Лекция 5: 12 || Лекция 6 >
Аннотация: Рассматриваются типы графов такие как полный, симметрический, антисимметрический, двудольный, дерево, планарный и их возможные комбинации. Дается теорема о двудольности графов. Цель лекции: Дать представление о типах графов и их свойствах

Граф G = (X, A) называют полным, если для любой пары вершин хi и хj в X существует ребро i, хj) в неориентированном графе

G=(X,A)

т. е. для каждой пары вершин графа G должна существовать по крайней мере одна дуга, соединяющая их ( рис. 5.1,а).

Граф G =(X, A) называется симметрическим, если в множестве дуг A для любой дуги i, хj) существует также противоположно ориентированная дуга j, хi) ( рис. 5.1,б).

а – полный граф; б – симметрический граф; в – антисимметрический граф;  г – полный симметрический;

Рис. 5.1. а – полный граф; б – симметрический граф; в – антисимметрический граф; г – полный симметрический;

Антисимметрическим называется такой граф, для которого справедливо следующее условие: если дуга (х_{i}, х_{j}) \in  A, то во множестве A нет противоположно ориентированной дуги, т. е. ( х_{j}, х_{i}) \notin  A ( рис. 5.1,в). Очевидно, что в антисимметрическом графе нет петель.

В качестве примера можно рассмотреть граф, являющийся моделью некоторой группы людей: вершины графа интерпретируют людей, а дуги – их взаимоотношения. Так, если в графе дуга, нарисованная от вершины хi к вершине хj , означает, что хi является другом или родственником хj , тогда данный граф должен быть симметрическим. Если дуга, направленная от хi к хj , означает, что вершина хj подчинена вершине хi , то такой граф должен быть антисимметрическим.

Комбинируя определения полного и симметрического графов и полного и антисимметрического графов, получили следующие определения:

  • граф G =(X, A), в котором любая пара вершин i, хj) соединена двунаправленными дугами, называется полным симметрическим ( рис. 5.1,г). Очевидно, что в полном симметрическом графе каждая вершина имеет петлю;
  • граф G =(X, A), имеющий для каждой пары вершин i, хj) только одну дугу, называется полным антисимметрическим или турниром.

Связный граф, не имеющий циклов, либо граф, в котором каждая пара вершин соединена одной и только одной простой цепью, называется деревом ( рис. 5.2, а, б).

Граф типа “дерево”:  а – неориентированное дерево,  б – ориентированное дерево

Рис. 5.2. Граф типа “дерево”: а – неориентированное дерево, б – ориентированное дерево

Ориентированное дерево представляет собой ориентированный граф без циклов, в котором полустепень захода каждой вершины, за исключением одной (например, вершины х1 ), равна 1, а полустепень захода вершины х1 (называют корнем этого дерева) равна 0 ( рис. 5.2,б).

Граф G =(X, A), который может быть изображен на плоскости или сфере без пересечений называется планарным ( рис. 5.3).

Планарный граф

Рис. 5.3. Планарный граф

На рис. 5.4 показаны непланарные графы. Эти два графа играют важную роль в теории планарных графов и известны как графы Куратовского.

Непланарные графы

Рис. 5.4. Непланарные графы

Неориентированный граф G = (X, A) называют двудольным, если множество его вершин X может быть разбито на такие два подмножества Xа и Xb , что каждое ребро имеет один конец в Xа , а другой в Xb ( рис. 5.5,а).

Ориентированный граф G называется двудольным, если его неориентированный двойник – двудольный граф ( рис. 5.5,б,в).

Двудольный граф G=(X^{а} \cup  X^{b}, A) называют полным, если для любых двух вершин х_{i} \in  X^{а} и х_{j}\in  X^{b} существует ребро ij) в G=(X,A) ( рис. 5.5,г).

Двудольные графы: а, б, в – двудольные графы; г – полный двудольный граф

Рис. 5.5. Двудольные графы: а, б, в – двудольные графы; г – полный двудольный граф

Для доказательства двудольности графа существует теорема.

< Лекция 4 || Лекция 5: 12 || Лекция 6 >
Дмитрий Щелков
Дмитрий Щелков

В лекции 3 часть номер 2 приведён пример нахождения транзитивного замыкания по матрице смежности. Из примера для обратного транзитивного замыкания видно, что путь для достижения вершины х6 в вершину х3 равен 3, а не 2, как показано в табличном примере. Мне кажется, что в лекции ошибка.

Вячеслав Коваленко
Вячеслав Коваленко

В курсе "Введение в теорию графов" в лекции 4 "Достижимость в графарх" дано выражение для нахождения множетсва вершин, входящих в путь из одной вершины графа в другую и по рис.4.2. показан пример нахождения такого множества для пути из вершины х2 в вершину х4 - это множетсво (х2, х3, х4, х5). По рисунку видно что путь не оптимален и для того, чтобы он проходил через все вершины этого множества, через х4 нужно пройти два раза. Правильно ли я понимаю, что данное определение пути дает не всегда оптимальный путь и что определение оптимально (кратчайшего) пути - отдельная задача? Или в примере ошибка?

Дарья Левашова
Дарья Левашова
Россия, Тамбовская область
Наталья Горбунова
Наталья Горбунова
Россия, Черноголовка