Вятский государственный университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 2665 / 495 | Оценка: 4.31 / 3.94 | Длительность: 06:04:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 3:

Многозначные отображения и транзитивные замыкания

< Лекция 2 || Лекция 3: 12 || Лекция 4 >

Транзитивные замыкания

Прямое транзитивное замыкание

Прямым транзитивным замыканием некоторой вершины хi – T+( хi ) является объединение самой вершины хi с прямыми отображениями 1-го порядка, второго порядка и т. д., т. е.

T^{+}( х_{i} ) = х_{i} \cup  Г^{+1} ( х_{i} ) \cup  Г^{+2}( х_{i} ) \cup  ...

Многозначные отображения находятся до тех пор, пока в них добавляются новые вершины.

Так, для графа на рис. 3.1.

Г+1 ( х1 ) = { х2, х3 }, Г+2( х1 ) = { х3, х5 }, Г+3( х1 ) = { х3, х1 }, Г+4( х1 ) = { х2, х3 }.

Отображение четвертого порядка содержит те же элементы, что и отображение 1-го порядка, следовательно, других элементов в последующих отображениях не появится. Транзитивное замыкание для вершины х1 получается следующим образом:

T^{+}( х_{1} ) = х_{1} \cup  \{  х_{2}, х_{3} \}  \cup  \{  х_{3}, х_{5} \}  \cup  \{  х_{3}, х_{1} \}  = \{  х_{1}, х_{2}, х_{3}, х_{5} \}.

Проанализировав множество вершин, входящих в T+( хi ), можно сделать вывод: прямое транзитивное замыкание содержит вершины, в которые есть пути из вершины хi. Таким образом, можно дать второе определение T+( хi ).

Прямое транзитивное замыкание некоторой вершины хi T+( хi ) – это множество вершин, достижимых из вершины хi, т. е. T ( х_{i} ) = \{  х_{j} | \exists \  путь \ из \ х_{i} в \ х_{j} \} .

Обратное транзитивное замыкание

Обратным транзитивным замыканием некоторой вершины хi –T-( хi ) является объединение этой вершины с обратными отображениями 1-го, 2-го и т. д. n -го порядка, т. е.

T^{-}( х_{i} ) = х_{i} \cup  Г^{-1}(х_{i} ) \cup  Г^{-2}(х_{i} ) \cup ...

Иначе, обратное транзитивное замыкание для некоторой вершины хi – T-( хi ) – это множество вершин, из которых достижима вершина х_{i}, т. е. T^{-}( х_{i} ) = \{  x_{j} | \exists \  путь \ из \ x_{j} \  в \ х_{i} \}.

Рассмотрим построение обратного транзитивного замыкания для графа на рис. 3.1.

Г^{-1}(х_{1}) = \{  х_{5} \} ,Г^{-2}(х_{1}) = \{  х_{2}, х_{4} \} ,Г^{-3}(х_{1}) = \{  х_{1} \} ,Г^{-4} (х_{1}) = \{  х_{5} \} ,T^{-}(х_{1}) = х_{1} \cup  \{  х_{5} \}  \cup  \{  х_{2}, х_{4} \}  \cup  \{  х_{1} \}  \cup  \{  х_{5} \}  = \{ х_{1}, х_{2}, х_{4}, х_{5}\}.

Нахождение транзитивных замыканий по матрице смежности

Рассмотрим метод нахождения прямого транзитивного замыкания по матрице смежности, показанной на рис. 3.3,а для вершины х2 графа, изображенного на рис. 3.3,б. На 1-м шаге итерации заносим 0 в столбец Т+ для элемента х2 и просматриваем 2-ю строку матрицы. Находим, что элементы a22=1 и a25=1. Заносим 1 в 5-ю клетку Т+. 2-я клетка уже занята нулем, поэтому 1 не заносим. 2-й шаг начинается просмотром 5-й строки матрицы смежности, соответствующий вершине х5 графа. Находим, что элементы a51=1 и a54=1, т. е. из вершины х5 имеются дуги в вершины х1 и х4 или иначе из вершины х2 имеются пути длиной 2 в вершины х1 и х4. Длину пути 2 заносим в 1-ю и 4-ю клетки столбца T+2). На 3-м шаге анализируются 1-я и 4-я строки матрицы смежности А. Находим элементы a12=1, a13=1, a43=1. В соответствующие свободные клетки заносим значения

Построение прямого (а) и обратного (в)  транзитивных замыканий для графа (б)

Рис. 3.3. Построение прямого (а) и обратного (в) транзитивных замыканий для графа (б)

Это возможно сделать только для вершины х3, так как вторая клетка уже занята. Анализ 3-й строки матрицы на 4-м шаге показывает, что из вершины х3 нет исходящих дуг, следовательно, процесс формирования прямого транзитивного замыкания завершен.

Таким образом, в столбце T+2) стоят числа равные длине пути от вершины х2 к соответствующим вершинам графа. Путь от х2 к х3 равный 3 показан штриховой линией на рис. 3.3,б. В столбце T+( х2 ) отмечены все вершины, достижимые из вершины х2, следовательно, они входят в T+( х2 ).

T+( х2 ) = { х1, х2, х3, х4, х5 }.

Во втором столбце показано построение прямого транзитивного замыкания вершины х1 – T+( х1 ).

T+( х1 ) = { х1, х2, х3, х4, х5 }.

Нахождение обратного транзитивного замыкания по матрице смежности показано на рис. 3.1,в. Рассмотрим нахождение обратного транзитивного замыкания вершины х3 – T-( х3 ), которое начинается с занесения 0 в 3-ю клетку строки T-( х3 ). На 1-м шаге алгоритма, помеченного стрелкой с цифрой 1, просматриваем 3-й столбец матрицы А. Определяем элементы равные 1, т. е. a13=1 и a43=1. Следовательно, в графе из вершин х1 и х4 есть дуги в вершину х3. Заносим 1 в 1-ю и 4-ю клетки T-3). На втором шаге просматриваем 1-й и 4-й столбцы матрицы A. Находим a51=1, a61=1, a54=1 и проставляем 2 (так как длина пути от этих вершин до вершины х3 равна 2) в свободные клетки T-3), т. е. в 5-ю и 6-ю клетки. 3-й шаг заключается в просмотре 5-го и 6-го столбцов матрицы A. Элементы a25=1, a65=1, a66=1 позволяют поставить 3 во 2-ю клетку строки T-( х3 ). 4-й шаг просмотра 2-го столбца дает элементы a12 = 1 и a22 = 1, уже вошедшие в T-3). Итак, сформировано обратное транзитивное замыкание для вершины х3.

T-( х3 ) = { х1, х2, х3, х4, х5, х6 }.

Числа, стоящие в клетках T-( х3 ), показывают длину кратчайшего пути от соответствующих вершин до вершины х3.

Во второй строке показано формирование обратного транзитивного замыкания вершины х1.

T-( х1 ) = { х1, х2, х5, х6 }.

< Лекция 2 || Лекция 3: 12 || Лекция 4 >
Дмитрий Щелков
Дмитрий Щелков

В лекции 3 часть номер 2 приведён пример нахождения транзитивного замыкания по матрице смежности. Из примера для обратного транзитивного замыкания видно, что путь для достижения вершины х6 в вершину х3 равен 3, а не 2, как показано в табличном примере. Мне кажется, что в лекции ошибка.

Вячеслав Коваленко
Вячеслав Коваленко

В курсе "Введение в теорию графов" в лекции 4 "Достижимость в графарх" дано выражение для нахождения множетсва вершин, входящих в путь из одной вершины графа в другую и по рис.4.2. показан пример нахождения такого множества для пути из вершины х2 в вершину х4 - это множетсво (х2, х3, х4, х5). По рисунку видно что путь не оптимален и для того, чтобы он проходил через все вершины этого множества, через х4 нужно пройти два раза. Правильно ли я понимаю, что данное определение пути дает не всегда оптимальный путь и что определение оптимально (кратчайшего) пути - отдельная задача? Или в примере ошибка?