Вятский государственный университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 2663 / 495 | Оценка: 4.31 / 3.94 | Длительность: 06:04:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 1:

Графы и способы их представления

Лекция 1: 12 || Лекция 2 >

Способы описания графов

Теоретико-множественное представление графов

Граф описывается перечислением множества вершин и дуг. Примеры описания приведены для орграфов на рис. 1.3 и рис. 1.4.

G4 = (Х, А),

где Х = {хi}, i = 1, 2, 3, 4 – множество вершин; А = {ai }, i = 1, 2, ..., 6 – множество дуг, причем А = {(х1, х2), (х4, х2), (х2, х4 ), (х2, х3), (х3, х3), (х4 , х1)}.


Рис. 1.3.

G5 = (X, A),

где X = {B, C, D, E, F} – множество вершин графа, A = {ai}, i = 1, 2, ..., 5 – множество дуг графа, причем a1 = (F, B), a2 = (F, D), a3 = (B, E), a4 = (E, C), a5 = (C, D).


Рис. 1.4.
Задание графов соответствием

Описание графов состоит в задании множества вершин Х и соответствия Г, которое показывает, как между собой связаны вершины.

Соответствием Г называется отображение множества Х в Х, а граф в этом случае обозначается парой G = (X, Г).

Отображением вершины хi — Г(хi) является множество вершин, в которые существуют дуги из вершины хi, т. е. Г(х_{i}) = \{  х_{j}:\exists  дуга (х_{i}, х_{j})\in A\}.

Так для орграфа на рис. 1.3 описание заданием множества вершин и соответствия выглядит следующим образом:

G4=(X, Г),

где X = {хi}, i = 1, 2, ..., 4 – множество вершин, Г(х1) = { х2 }, Г(х2) = { х3, х4 }, Г(х3) = { х3 }, Г(х4) = { х1, х2 } – отображения.

Для неориентированного или смешанного графов предполагается, что соответствие Г задает такой эквивалентный ориентированный граф, который получается из исходного графа заменой каждого неориентированного ребра двумя противоположно направленными дугами, соединяющими те же самые вершины. Например, для графа на рис. 1.2Г(х2) = { х1, х3, х5 }, Г(х4) ={ х3, х5} и т. д.

Матричное представление графов

Для обработки на ЭВМ графы удобно представлять в виде матриц смежности и инциденций.

Матрица смежности – это квадратная матрица размерностью n x n, (где n – число вершин графа ), однозначно представляющая его структуру.

A = {aij}, i, j = 1, 2, ..., n, а каждый элемент матрицы определяется следующим образом:

aij = 1, если \exists дуга i, хj),

aij = 0, если нет дуги i, хj).

Если элемент на диагонали (i=j) равен единице, значит, вершина i имеет петлю.

Матрица инциденций представляет собой прямоугольную матрицу размером n x m, где n – количество вершин графа, а m – количество дуг графа. Обозначается матрица инциденций B = {bij}, i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., m .

Каждый элемент матрицы определяется следующим образом:

bij = 1, если хi является начальной вершиной дуги aj,

bij = –1, если хi является конечной вершиной дуги aj,

bij = 0, если хi не является концевой вершиной дуги aj или если aj является петлей.

Таким образом, нулевой столбец j в матрице инциденций свидетельствует о том, что дуга aj яляется петлей.

На рис. 1.5, а,б приведен граф и его матрица смежности, по которой можно найти характеристики вершин. Так сумма элементов i -ой строки матрицы дает полустепень исхода вершины хi, а сумма элементов i -го столбца дает полустепень захода вершины хi. По матрице смежности можно найти прямые и обратные отображения. Рассмотрим i -ю строку матрицы. Если элемент aij=1, то элемент графа хj входит в отображение Г(хi). Например, во 2-й строке матрицы А ( рис. 1.5,б) единицы стоят в 2-м и 5-м столбцах, следовательно, Г(х2) = { х2, х5}.

Орграф и его матричное представление: а – орграф; б – матрица смежности; в – матрица инциденций

Рис. 1.5. Орграф и его матричное представление: а – орграф; б – матрица смежности; в – матрица инциденций

Для графа на рис. 1.5матрица инциденций приведена на рис. 1.5,в. Поскольку каждая дуга инцидентна двум различным вершинам, за исключением того случая, когда дуга образует петлю, то каждый столбец либо содержит один элемент равный 1 и один – равный – 1, либо все элементы столбца равны 0.

Для неориентированного графа, матрица инциденций определяется так же, за исключением того, что все элементы, равные –1, заменяются на 1.

Лекция 1: 12 || Лекция 2 >
Дмитрий Щелков
Дмитрий Щелков

В лекции 3 часть номер 2 приведён пример нахождения транзитивного замыкания по матрице смежности. Из примера для обратного транзитивного замыкания видно, что путь для достижения вершины х6 в вершину х3 равен 3, а не 2, как показано в табличном примере. Мне кажется, что в лекции ошибка.

Вячеслав Коваленко
Вячеслав Коваленко

В курсе "Введение в теорию графов" в лекции 4 "Достижимость в графарх" дано выражение для нахождения множетсва вершин, входящих в путь из одной вершины графа в другую и по рис.4.2. показан пример нахождения такого множества для пути из вершины х2 в вершину х4 - это множетсво (х2, х3, х4, х5). По рисунку видно что путь не оптимален и для того, чтобы он проходил через все вершины этого множества, через х4 нужно пройти два раза. Правильно ли я понимаю, что данное определение пути дает не всегда оптимальный путь и что определение оптимально (кратчайшего) пути - отдельная задача? Или в примере ошибка?