Тверской государственный университет
Опубликован: 21.08.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1310 / 43 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 14:18:00
ISBN: 978-5-94774-714-0
Специальности: Программист, Математик
Лекция 10:

Вычислимые функции, тезис Тьюринга-Черча и неразрешимые проблемы

< Лекция 9 || Лекция 10: 12345

Теорема 10.5. Все проблемы, перечисленные выше в пунктах 1-4, являются алгоритмически неразрешимыми.

Доказательство. Нам потребуются следующие вспомогательные программы \Pi _{x:=n}: x:=0; x:= x+1; \dots  ; x:= x+1 ( присваиваие x:=x+1 повторяется n раз). Понятно, что для любого начального состояния \sigma после выполнения \Pi _{x:=n} имеем \Pi _{x:=n}(\sigma )(x)=n.

  1. Докажем неразрешимость {проблемы останова:} по произвольной структурированной программе \Pi определить, завершится ли вычисление \Pi на входе 0. Пусть M_{h0}=\{ n | \Phi _{\Pi n,y }(0) < \infty  \}. Докажем, что множество номеров самоприменимых программ Ms сводится к Mh0. Пусть n - номер программы \Pi _{n}. преобразуем ее в программу \Pi ':  \Pi _{x:=n};\Pi _{n}; y:=0. Таким образом, \Pi ' вначале заносит в x номер n программы \Pi _{n}, а затем применяет \Pi _{n} к этому номеру и, если \Pi _{n} на n останавливается, выдает результат y=0. Поэтому \Pi ' останавливается на любом аргументе (в том числе и на 0) тогда и только тогда, когда n \in  M_{s}. Преобразование программы \Pi _{n} в программу \Pi ' осуществляется эффективно. Поэтому (на основании тезиса Тьюринга-Черча) существует такая о.р.ф. f, которая по n вычисляет номер m программы \Pi '=\Pi _{m}=\Pi _{f(n)}. Эта функция и будет сводить Ms к Mh0, так как n \in  M_{s} \Leftrightarrow  f(n) \in  M_{h0}. Следовательно, по лемме ref{lm-red} проблемы останова Mh0 неразрешима.

    Очевидно, что и более общая форма проблемы останова M_{h}=\{ (n,a) | \Phi _{\Pi n, y }(a) < \infty  \} также неразрешима, поскольку к ней сводится Mh0: n \in  M_{h0} \Leftrightarrow  (n,0) \in  M_{h}.

  2. Для сведения Ms к множеству Mt номеров программ, вычисляющих всюду определенные функции, можно также использовать функцию f из пункта 1. Действительно, \Pi _{n} останавливается на входе n тогда и только тогда, когда \Pi '=\Pi _{f(n)} останавливается на всех входах, т.е. n\in  M_{s} \Leftrightarrow  f(n) \in  M_{t}. Следовательно, проблема тотальности Mt неразрешима.
  3. Рассмотрим теперь проблему эквивалентности. Пусть

    M_{eq}=\{(n,m) | \textit{ для всех } x \\
\Phi_{\Pi_n,y}(x) = \Phi_{\Pi_m,y}(x) \}. ( x) )

    Зафиксируем следующую программу P0: x:=x; y:=0. Очевидно, что она вычисляет функцию, тождественно равную нулю, т.е. \Phi_{P^0,y}(x)=0 для всякого x. Пусть ее номер n(P0) равен k0. Для произвольного n рассмотрим пару (f(n), k0). Из определения f следует, что \Pi _{n} останавливается на входе n тогда и только тогда, когда \Pi '=\Pi _{f(n)} останавливается на всех входах и выдает результат 0: \Phi_{\Pi_{f(n),y}}(x)=0 для всех x, т.е. \Pi _{ f(n)} и \Pi_{k_0} эквивалентны. Тогда n \in  M_{s}\Leftrightarrow  (f(n),k_{0}) \in  M_{eq}. Положим g(n)= c2(f(n),k0) . Тогда g является о.р.ф. и n \in  M_{s}\Leftrightarrow   g(n) \in  c_{2}(M_{eq}). Следовательно, Ms сводится к Meq посредством g и проблема Meq неразрешима.

  4. Для доказательства неразрешимости проблемы лишнего присваивания:

    M_{opt1}=\{(n,m) |  \textit{на некотором  входе } \  a\  \textit{ в программе } \ \Pi_n \textit{срабатывает }\\ m\textit{-ый по счету } \textit{оператор присваивания}\}

    снова используем функцию f из пункта 1. Напомним, что \Pi _{f(n)}:  \Pi _{\{ }x:=n\} ;\Pi _{n}; y:=0. По n и соответствующей программе \Pi _{n} можно легко определить номер m последнего присваивания y:=0 в \Pi _{f(n)}:

    m= (n+1) + (\textit{число присваиваний в } \Pi_n) +1

    Пусть g(n) - это о.р.ф., вычисляющая по n этот номер m. Тогда n \in  M_{s}\Leftrightarrow  (f(n),g(n)) \in  M_{opt1}. Положим h(n)= c2(f(n),g(n)). Тогда h является о.р.ф. и n \in  M_{s}\Leftrightarrow   h(n) \in  c_{2}(M_{opt1}). Следовательно, Ms сводится к Mopt1 посредством h и проблема Mopt1 неразрешима.

    Рассмотрим теперь проблему лишнего условия:

    M_{opt2}=\{(n,m) | \textit{существует вход\ }, a\\ \textit{  на котором при некотором срабатывании}\\\textit{ m-го по счету условного оператора}\\\textit{ в программе } \Pi_n\
   \textit{его условие истинно}\}.

    Для доказательства ее неразрешимости определим по n программу \Pi ’‘:  \Pi ’;  если  y=0  то y:=y  иначе  y:=y +1  конец ( здесь \Pi ' - программа из п. 1). И в этом случае программа \Pi '' строится по программе \Pi _{n} эффективно. Пусть ее номер вычисляется о.р.ф. f’, т.е. \Pi _{f’(n)}=\Pi '', и пусть о.р.ф. g’(n) определяет номер последнего условного оператора в программе \Pi _{f’(n)}. Тогда n \in  M_{s}\Leftrightarrow в программе \Pi _{f'(n)} последний условный оператор выполняется (на любом входе) и при этом y=0, т.е. его условие истинно, а это означает, что (f’(n),g'(n)) \in  M_{opt2}. Положив h’(n)= c2(f’(n),g’(n)), получим, что n \in  M_{s} \Leftrightarrow  h'(n) \in  c_{2}(M_{opt2}). Следовательно, Ms сводится к Mopt2 посредством h’ и проблема Mopt2 также неразрешима.

    Теорема доказана.

    Какой же вывод можно сделать из того, что некоторая алгоритмическая проблема оказалась неразрешимой? Для программистов из такого утверждения извлекаются "две новости: плохая и хорошая ". "Плохая новость" состоит в том, что невозможно построить алгоритм (программу) для автоматического решения такой проблемы. Например, из теоремы 10.5 следует, что невозможно автоматически проверить, входит ли некоторый вход в область определения вычислимой функции, нельзя определить корректность программы, т.е. то, что она вычисляет требуемую функцию, нет способа проверять эквивалентность программ (не только структурированных, но и написанных на Паскале, Си, ассемблере, Яве и других языках программирования), не существует алгоритмов для оптимизаций, связанных с удалением лишних присваиваний и условий, и т.п. Но неразрешимость проблемы не означает, что она не может быть решена для некоторых отдельных входных данных. Например, в предыдущих разделах мы построили достаточно много программ и доказали их корректность. Поэтому "хорошая новость" для программистов и математиков состоит в том, что их труд при решении неразрешимых проблем в каждом отдельном случае является творческим - никакой программой их не заменить. Появление каждой новой содержательно интересной неразрешимой проблемы только расширяет область их творчества, заставляет искать все более и более широкие алгоритмы, которые позволяют решать все более обширные подклассы относящихся к этой проблеме индивидуальных задач.

Задачи

Задача 10.1. Докажите, что машины Тьюринга \mathcal{ M}_F и \mathcal{M}_f, определенные в доказательстве теоремы 10.1 для примитивной рекурсии и минимизации, действительно правильно реализуют указанные операторы.

Задача 10.2. Постройте машины Тьюринга Mi0 , Mi+1, Mij, \Phi ^{ ij }_{=}, \Phi ^{ ij}_{<}, Mstart и Mend, определенные в доказательстве теоремы 10.2.

Задача 10.3. Докажите утверждение 1, сформулированное в доказательстве теоремы 10.2, используя индукцию по построению программы \Pi и соответствующей м.Т. M_{\Pi }.

Задача 10.4. В доказательстве теоремы 10.3 рассмотрен случай, когда м.Т. \mathcal{ M} вычисляет функцию от одного аргумента f(x) . Покажите, что теорема верна и в общем случае для функций f(x1,...,xn) при любом n.

Задача 10.5. Докажите, что отношение алгоритмической сводимости <=m является рефлексивным и транзитивным.

Задача 10.6. Доказать алгоритмическую неразрешимость следующих проблем.

  • По произвольной программе \Pi определить, является ли вычисляемая ей функция \Phi _{\Pi ,y}(x) постоянной константой.
  • По произвольной программе \Pi и числам a и b проверить равенство \Phi _{\Pi ,y}(a)=b.
  • По произвольной программе \Pi определить, является ли множество значений вычисляемой ею функции \Phi _{\Pi ,y}(x) бесконечным.
  • По произвольной паре программ \Pi и \Pi ' проверить, что для всех x имеет место неравенство \Phi _{\Pi ,y}(x) > \Phi _{\Pi ',y}(x).

Задача 10.7. Докажите, что

  • пересечение двух разрешимых множеств является разрешимым множеством.
  • объединение двух разрешимых множеств является разрешимым множеством.

Задача 10.8. Докажите, что для двух разрешимых множеств A и B их "сумма" A+B=\{  x+y | x\in  A, y\in  B\} также является разрешимым множеством.

Задача 10.9. Пусть A - разрешимое множество, а g(x) и h(x) являются о.р.ф. Докажите, что функция

F(x) = \left \{\begin{array}{ll}
             g(x), & \mbox{ если } x \in A\\
             h(x), & \mbox{ в противном случае}
      \end{array}   \right.

также является общерекурсивной.

< Лекция 9 || Лекция 10: 12345
Илья Кизилов
Илья Кизилов
Россия, Санкт-Петербург, СПГУАП