Тверской государственный университет
Опубликован: 21.08.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1313 / 43 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 14:18:00
ISBN: 978-5-94774-714-0
Специальности: Программист, Математик
Лекция 5:

Регулярные языки и конечные автоматы

< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >

Автоматы для регулярных языков

Покажем, что каждый регулярный язык можно распознать конечным автоматом.

Теорема 5.1. Для каждого регулярного выражения r можно эффективно построить такой недетерминированный конечный автомат M, который распознает язык, задаваемый r, т.е. LM= Lr.

Доказательство Построение автомата M по выражению r проведем индукцией по длине r, т.е. по общему количеству символов алфавита \Sigma, символов \varnothing и \varepsilon, знаков операций +, \hat{} , ^{*} и скобок в записи r.

Базис. Автоматы для выражений длины 1: \varnothing, \varepsilon и a \in  \Sigma показаны на следующем рисунке.


Рис. 5.1.

Заметим, что у каждого из этих трех автоматов множество заключительных состояний состоит из одного состояния.

Индукционный шаг. Предположим теперь, что для каждого регулярного выражения длины <= k построен соответствующий НКА, причем у него единственное заключительное состояние. Рассмотрим произвольное регулярное выражение r длины k+1. В зависимости от последней операции оно может иметь один из трех видов: (r1 + r2), (r1 r2) или (r1)*. Пусть M_{1}= <\Sigma ,  Q_{1}, q_{0}^{1}, \{ q_{f}^{1}\} , \Phi _{1} > и M_{2}= <\Sigma ,  Q_{2}, q_{0}^{2}, \{ q_{f}^{2}\} , \Phi _{2} > - это НКА, распознающие языки Lr1 и Lr2, соответственно. Не ограничивая общности, мы будем предполагать, что у них разные состояния: Q_{1} \cap  Q_{2} = \varnothing.

Тогда НКА M=  <\Sigma ,  Q, q_{0}, \{ q_{f}\} , \Phi  >, диаграмма которого представлена на рис. 5.2, распознает язык L_{r} =L_{r1} + r_{2}=L_{r1} \cup  L_{r2}.


Рис. 5.2.

У этого автомата множество состояний Q = Q_{1} \cup  Q_{2} \cup  \{  q_{0}, q_{f}\}, где q0 - это новое начальное состояние, qf - новое (единственное !) заключительное состояние, а программа включает программы автоматов M1 и M2 и четыре новых команды \varepsilon -переходов: \Phi  = \Phi _{1} \cup  \Phi _{2} \cup  \{ q_{0} \to  q_{0}^{1}, q_{0} \to  q_{0}^{2}, q_{f}^{1} \to  q_{f}, q_{f}^{2} \to  q_{f}\}. Очевидно, что язык, распознаваемый НКА M, включает все слова из L{M1} и из L{M2}. С другой стороны, каждое слово w \in  L_{M} переводит q0 в qf, и после первого шага несущий его путь проходит через q01 или q02. Так как состояния M1 и M2 не пересекаются, то в первом случае этот путь может попасть в qf только по \varepsilon -переходу из qf1 и тогда w \in  L_{M1}\}. Аналогично, во втором случае w \in  L_{M2}.

Для выражения r = r_{1}\hat{}  r_{2} диаграмма НКА M=  <\Sigma ,  Q, q_{0}, \{ q_{f}\} , \Phi  >, распознающего язык Lr, представлена на следующем рисунке.


Рис. 5.3.

У этого автомата множество состояний Q = Q_{1} \cup  Q_{2}, начальное состояние q0= q01, заключительное состояние qf =qf2, а программа включает программы автоматов M1 и M2 и одну новую команду - \varepsilon -переход из заключительного состояния M1 в начальное состояние M2, т.е. \Phi  = \Phi _{1} \cup  \Phi _{2} \cup  \{  q_{f}^{1} \to   q_{0}^{2}\}. Здесь также очевидно, что всякий путь из q0= q01 в qf =qf2 проходит через \varepsilon -переход из qf1 в q02. Поэтому всякое слово, допускаемое M, представляет конкатенацию некоторого слова из LM1} с некоторым словом из LM2}, и любая конкатенация таких слов допускается. Следовательно, НКА M распознает язык L_{r} =L _{r1} \hat{}  r_{2}\} =L _{r1}  L_{r2}.

Пусть r = r1*. Диаграмма НКА M=  <\Sigma ,  Q, q_{0}, \{ q_{f}\} , \Phi  >, распознающего язык Lr=Lr1* = LM1* представлена на рис. 5.3.

 Диаграмма автомата M, распознающего язык Lr1*

Рис. 5.3. Диаграмма автомата M, распознающего язык Lr1*

У этого автомата множество состояний Q = Q_{1}  \cup  \{  q_{0}, q_{f}\}, где q0 - это новое начальное состояние, qf - новое (единственное !) заключительное состояние, а программа включает программу автомата M1 и четыре новых команды \varepsilon -переходов: \Phi  = \Phi _{1} \cup  \{ q_{0} \to  q_{0}^{1},   q_{0} \to  q_{f},  q_{f}^{1} \to  q_{0}^{1},  q_{f}^{1} \to  q_{f}\}. Очевидно, \varepsilon  \in  L_{M}. Для непустого слова w по определению итерации w \in  L_{r1*} \Leftrightarrow для некоторого k >= 1 слово w можно разбить на k подслов: w=w1w2... wk и все w_{i} \in  L_{M1}. Для каждого i= 1,... ,k слово wi переводит q01 в qf1. Тогда для слова w в диаграмме M имеется путь

q_0 \stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow} q_0^1 \stackrel{w_1}{\longrightarrow}q_f^1 \stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow} q_0^1 \stackrel{w_2}{\longrightarrow}q_f^1 \ldots q_0^1 \stackrel{w_k}{\longrightarrow}q_f^1 \stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}q_f

Следовательно, w \in  L_{M}. Обратно, если некоторое слово переводит q0 в qf, то либо оно есть \varepsilon, либо его несет путь, который, перейдя из q0 в q01 и затем пройдя несколько раз по пути из q01 в qf1 и вернувшись из qf1 в q01 по \varepsilon -переходу, в конце концов из qf1 по \varepsilon -переходу завершается в qf. Поэтому такое слово w \in  L _{M1}^{*}.

Из теорем 4.2 и 5.1 непосредственно получаем

Следствие 5.1. Для каждого регулярного выражения можно эффективно построить детерминированный конечный автомат, который распознает язык, представляемый этим выражением.

Это утверждение - один из примеров теорем синтеза: по описанию задания (языка как регулярного выражения ) эффективно строится программа (ДКА), его выполняющая. Справедливо и обратное утверждение - теорема анализа.

Теорема 5.2. По каждому детерминированному (или недетерминированному) конечному автомату можно построить регулярное выражение, которое представляет язык, распознаваемый этим автоматом.

Доказательство этой теоремы достаточно техническое и выходит за рамки нашего курса.

Таким образом, можно сделать вывод, что класс конечно автоматных языков совпадает с классом регулярных языков. Далее мы будем называть его просто классом автоматных языков.

Автомат Mr, который строится в доказательстве теоремы 5.1 по регулярному выражению r, не всегда является самым простым.

Например, для реализации выражения-слова a1a2 ... an, где a_{i} \in  \Sigma    (i=1,2, \dots  , n), можно просто использовать автомат с (n+1) состоянием qi (i=0,1,2, ... , n) и командами q{i-1} ai -> qi, в котором нет пустых \varepsilon -переходов, участвующих в общей конструкции для конкатенации. Также при построении автомата для объединения M1 и M2 можно сливать их начальные состояния в одно, если в них нет переходов из других состояний (тогда не потребуется новое начальное состояние). Можно также объединить их заключительные состояния, если из них нет переходов в другие состояния и алфавиты M1 и M2 совпадают. Если из заключительного состояния M1 нет переходов в другие состояния, то при конкатенации его можно объединить с начальным состоянием M2. Вместе с тем, утверждения задачи 5.9 показывают, что наша общая конструкция достаточно экономна.

Пример 5.7. Применим теорему 5.1 к регулярному выражению r = (1 +01 +001)^{*}(\varepsilon  + 0 +00), которое, как мы заметили в примере 5.4, представляет язык, состоящий из всех слов, которые не содержат подслово '000'.

На рис. 5.5 представлены диаграммы автоматов M1 и M2, построенных по выражениям r1 = (1 +01 +001) и r_{2}= (\varepsilon  + 0 +00), соответственно, с помощью конструкций для конкатенации и объединения. Как мы отмечали выше, автомат M1 можно было бы еще упростить, склеив начальные состояния q2, p1 и s1, а также заключительные состояния q3, p3 и s4.


Рис. 5.5.

Автомат M3 для выражения r1* = (1 +01 +001)* получается из M1 добавлением нового начального состояния q0 и заключительного состояния q5 и \varepsilon -переходов из q0 в q1 и q5, из q4 в q5 и из q5 в q1. Затем результирующий автомат для исходного выражения r получается последовательным соединением M3 и M2. Он представлен ниже на рис. 5.6.


Рис. 5.6.
< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >
Гасан Баширов
Гасан Баширов
Азербайджан, Баку
Сергей Злобин
Сергей Злобин
Россия, Подольск