Тверской государственный университет
Опубликован: 21.08.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1310 / 43 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 14:18:00
ISBN: 978-5-94774-714-0
Специальности: Программист, Математик
Лекция 3:

Упорядоченные бинарные диаграммы решений (УБДР)

< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >
Аннотация: Бинарные деревья решений и их превращение в упорядоченные бинарные диаграммы решений (УБДР). Сокращенные УБДР и их построение по произвольным УБДР, алгоритм СОКРАЩЕНИЕ-УБДР. Построение сокращенных УБДР по формулам

Рассматриваемый в этой лекции способ представления булевых функций с помощью специального подкласса ориентированных графов без циклов был предложен Р. Бриантом (R. Bryant) в 1986г. Его английское название - "Ordered binary decision diagram", сокращенно - OBDD. Сейчас УБДР являются одним из основных средств реализации булевых функций от большого числа переменных в задачах искусственного интеллекта, проверки правильности электронных схем, программ, протоколов и т.п.

Основные определения

Одним из предшественников УБДР являются бинарные деревья решений.

Определение 3.1. Бинарное дерево решений (БДР) - это бинарное дерево T=(V,E), все внутренние вершины которого помечены переменными, а листья - значениями 0 или 1. Из каждой внутренней вершины v выходят 2 ребра, одно помечено 0, другое - 1; вершина w0, в которую ведет ребро, помеченное 0, называется 0-сыном v, а вершина w1, в которую ведет ребро, помеченное 1, называется 1-сыном v.

Такое дерево, вершины которого помечены переменными x1, ..., xn реализует булеву функцию f(x1, ..., xn), если для каждого набора значений переменных \sigma _{1}, \sigma _{2}, \dots , \sigma _{n} ветвь в дереве, соответствующая этому набору (из вершины xi идем по ребру, помеченному \sigma _{i} ), завершается листом с меткой f(\sigma _{1}, \sigma _{2}, \dots , \sigma _{n}).

Пример 3.1. Например, рассмотрим изображенное ниже БДР T1 (на всех рисунках предполагается, что ребра направлены сверху вниз).


Рис. 3.1.

По определению T1 реализует функцию f1(x,y,z), представленную в таблице 3.1.

Таблица 3.1. Функция f1(x, y,z), реализуемая БДР T1 на рис.3.1
x y z f(x,y,z)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1. 1 0

Нетрудно построить ДНФ этой функции: f(x, y, z) = (\neg  x \wedge  y) \vee  (\neg  y \wedge  z).

УБДР являются модификацией БДР, в которой все листья с одной меткой представлены одной вершиной, в каждую вершину может входить несколько ребер, возможен выбор порядка появления переменных на ветвях.

Определение 3.2. Пусть зафиксирован некоторый порядок n переменных \pi : x_{\pi (1)}, \dots , x_{\pi (n)}.

Упорядоченная бинарная диаграмма решений относительно порядка переменных \pi - это ориентированный граф без циклов с одним корнем, в котором

  1. существует лишь две вершины, из которых не выходят ребра; они помечены константами 0 и 1 и называются стоками ;
  2. остальные ( внутренние ) вершины помечены переменными и из каждой из них выходят два ребра, одно помечено 0, другое - 1;
  3. порядок, в котором переменные встречаются на любом пути из корня в сток, совместим с \pi, т.е. если из вершины, помеченной x_{\pi (i)}, есть путь в вершину, помеченную x_{\pi (j)}, то i < j.

Как и в случае БДР, УБДР реализует булеву функцию f(x1, ..., xn), если для каждого набора значений переменных \sigma _{1}, \sigma _{2}, \dots , \sigma _{n} путь в диаграмме, начинающийся в корне и соответствующий этому набору (из вершины xi идем по ребру, помеченному \sigma _{i} ), завершается стоком с меткой f(\sigma _{1}, \sigma _{2}, \dots , \sigma _{n}).

Из этого определения непосредственно следует, что каждая внутренняя вершина диаграммы v, помеченная переменной x_{\pi (k)}, является корнем поддиаграммы, которая включает все вершины диаграммы, достижимые из v, и реализует некоторую функцию f_{v}( x_{\pi (k)},x_{\pi (k+1)}, \dots , x_{\pi (n)}) от (n -k +1) переменных x_{\pi (k)},x_{\pi (k+1)}, \dots , x_{\pi (n)}. При этом ее 0-сын w0 является корнем поддиаграммы, реализующей функцию f_{w0}(x_{\pi (k+1)}, \dots , x_{\pi (n)}) =f_{v}(  0, x_{\pi (k+1)}, \dots , x_{\pi (n)}), а 1-сын w1 - корень поддиаграммы, реализующей функцию f_{w1}(x_{\pi (k+1)}, \dots , x_{\pi (n)}) =f_{v}(  1, x_{\pi (k+1)}, \dots , x_{\pi (n)}). Пусть диаграмма реализует функцию f(x_{1}, \dots  , x_{n}) = f'(x_{\pi (1)}, \dots , x_{\pi (n)}) и \sigma _{\pi (1)},\dots  , \sigma _{\pi (k-1)} - это набор значений переменных x_{\pi (1)}, \dots , x_{\pi (k-1)}, который соответствует пути из корня в вершину v (таких наборов может быть несколько). Тогда f_{v}( x_{\pi (k)}, \dots , x_{\pi (n)})=f'(\sigma _{\pi (1)},\dots  , \sigma _{\pi (k-1)},x_{\pi (k)}, \dots , x_{\pi (n)}).

Пример 3.2. Реализуем с помощью УБДР функцию f1(x,y,z), представленную выше в примере 3.1, с помощью БДР T1 и таблицы 3.1.

Вначале зафиксируем порядок переменных: x < y < z. Объединив листья с одинаковыми метками и две z - вершины с одинаковыми потомками, получим УБДР D1, приведенную на рис.3.2.


Рис. 3.2.

Ясно, что реализация функции f1(x,y,z) с помощью УБДР D1 намного компактнее, чем с помощью БДР T1.

Под сложностью L(D) УБДР D будем понимать число внутренних вершин в D. Например, L(D1)=4. Может ли сложность диаграммы для некоторой функции зависеть от порядка переменных? Да! Рассмотрим порядок переменных y < x < z. Как показывает следующий рисунок, относительно этого порядка функцию f(x,y,z) можно реализовать УБДР D2 со сложностью L(D2)=3.


Рис. 3.3.
< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >