Тверской государственный университет
Опубликован: 21.08.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1309 / 43 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 14:18:00
ISBN: 978-5-94774-714-0
Специальности: Программист, Математик
Лекция 2:

Реализация булевых функций с помощью логических схем

< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >

Примеры схем

Сложение по модулю 2

Рассмотрим схему S+ на рис. 2.2.

Схема S+ для функции x+y

Рис. 2.2. Схема S+ для функции x+y

В соответствии с определением вершины этой схемы реализуют следующие функции:

f_{a}(x,y) = x \wedge  y, f_{b}(x,y) = x \vee  y, f_{c}(x,y) = \neg  f_{a}(x,y)=\neg ( x \wedge  y), f_{d}(x,y) = f_{c}(x,y) \wedge  f_{b}(x,y) = \neg ( x \wedge  y) \wedge  ( x \vee  y) = x +y.

Таким образом, схема S+ реализует (в вершине d ) функцию + сложения по модулю 2.

Из приведенного выше примера следует, что L(S+)=4 и L(+) <= 4.

Используя схему S+, нетрудно построить схему Sodd для реализации линейной функции-суммы n аргументов по модулю 2 odd(X1,X2,..., Xn)= X1 +X2 +... + Xn (см. рис. 2.3).

Схема Sodd

Рис. 2.3. Схема Sodd

На этой схеме прямоугольники S+(1), S+(2), ... ,S+(n) содержат копии схемы S+. При этом входами S+(1) являются переменные x1 и x2, а входами S+(i+1) являются выход схемы S+(i) и переменная xi+1. По индукции легко показать, что вершина d в S+(i) реализует функцию (x1 + x2 + ... + xi+1). Таким образом, нами установлена

Теорема 2.2. Существует схема Sodd, реализующая функцию odd(X1,X2,..., Xn)= X1 +X2 +... + Xn со сложностью L(Sodd)= 4 (n-1).

Сумматор

Сумматором порядка n называют схему, вычисляющую результат сложения двух n -разрядных двоичных чисел a = \sum_{i=0}^{n-1} a_i 2^i и b = \sum_{i=0}^{n-1} b_i 2^i. Пусть c=  a+b = \sum_{i=0}^{n} c_i 2^i ( здесь a_{i}, b_{i}, c_{i} \in  \{ 0, 1\} - соответствующие двоичные разряды этих чисел).

\begin{tabular}{ccccc}
 &  a_{n-1} &  \ldots &  a_1&  a_0\\
 +&  b_{n-1} &  \ldots &  b_1&  b_0\\
\hline c_n &  c_{n-1} &  \ldots &  c_1&  c_0
\end{tabular}

Сумматор должен вычислять набор из (n+1) -ой результирующей функции:

c_i(a_0,\ldots,a_{n-1}, b_0,\ldots, b_{n-1})\ (i=0,1, \ldots , n),

задающих соответствующие разряды суммы c.

Обозначим через pi бит переноса из (i-1) -го разряда в i -ый. Тогда нетрудно видеть, что при i =0

c0 = a0 + b0 и p_{1} = a_{0} \wedge  b_{0},

а при 1 <= i <= n-1

ci= pi + ai + bi и p_{i+1} = (a_{i} \wedge  b_{i}) \vee   (p_{i} \wedge  a_{i}) \vee  (p_{i} \wedge  b_{i}).

Старший разряд c совпадает с последним переносом: cn=pn.

Рассмотрим теперь построенную выше схему S+ как схему, вычисляющую набор из двух функций: x \wedge  y (в вершине a ) и x+y (в вершине d ). Используя два экземпляра этой схемы S+(1) и S+(2), можно легко реализовать схему одноразрядного сумматора SUM1 (см. рис. 2.4) , которая имеет три входа ai, b_ i и pi ( 1 <= i <= n-1 ) и вычисляет ci и pi+1.

Схема SUM1

Рис. 2.4. Схема SUM1

Действительно, из построения следует, что в вершине p этой схемы вычисляется функция f_{p} = (a_{i} \wedge  b_{i}) \vee   ((a_{i} + b_{i}) \wedge  p_{i}) =(a_{i} \wedge  b_{i}) \vee   (p_{i} \wedge  a_{i}) \vee  (p_{i} \wedge  b_{i}) = p_{i+1}. Из представленной схемы видно, что сложность одноразрядного сумматора L(SUM1)= 9.

Теперь из S+ и одноразрядных сумматоров SUM1 соберем схему SUMn для n -разрядного сумматора.

Схема cумматора SUMn

Рис. 2.5. Схема cумматора SUMn

Таким образом мы установили следующее утверждение.

Теорема 2.3.

Для каждого n >= 1 cуществует схема SUM, реализующая операцию суммирования двух n -разрядных двоичных чисел и имеющая сложность L(SUMn)= 9n -5.

Замечание Логические схемы интенсивно исследовались 50-х-70-х годах прошлого столетия. В частности, К. Шеннон и О.Б. Лупанов установили оценки сложности схем для булевых функций от n аргументов. Оказалось, что любую такую функцию можно реализовать со сложностью не большей (по порядку) 2n/n и что "почти все" они имеют не меньшую сложность. При этом до сих пор не известна ни одна последовательность "конкретных" функций fn, сложность которых по порядку превосходила бы линейную функцию.

Задачи

Задача 2.1. Докажите пункт (2) теоремы 2.1.

Задача 2.2. Докажите, что минимальная схема для сложения имеет сложность L(+) = 4.

Задача 2.3. Используя схему SUMn, постройте схему, реализующую операцию вычитания двух n -разрядных двоичных чисел: d =a - b (при условии, что a >= b ). Оцените сложность полученной схемы.

Задача 2.4. Определите глубину схем S+, Sodd, SUM1 и SUMn.

Задача 2.5. Два игрока независимо выбирают одно из четырех чисел от 0 до 3. Первый игрок выигрывает, если выбранные числа совпадают. Постройте схему, определяющую выигрыш 1-го игрока. Ее входы x1,x2 представляют число, выбранное 1-ым игроком, а y1,y2 - число, выбранное 2-ым игроком. Реализуемая функция F(x1,x2,y1,y2) равна 1 тогда и только тогда, когда x1=y1 и x2 =y2.

Задача 2.6. Постройте схему, определяющую результат голосования в комитете, состоящем из трех членов и председателя. В случае равенства голосов, голос председателя является решающим.

Задача 2.7. Пусть наборы аргументов булевой функции от трех аргументов упорядочены лексикографически, а ее значения задаются последовательностью 8 нулей и единиц. Постройте схемы, реализующие следующие функции.

  • f1=(1111 1011),
  • f2=(1001 1001),
  • f3 =(0011 1001).
< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >
Гасан Баширов
Гасан Баширов
Азербайджан, Баку
Сергей Злобин
Сергей Злобин
Россия, Подольск