Тверской государственный университет
Опубликован: 21.08.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1310 / 43 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 14:18:00
ISBN: 978-5-94774-714-0
Специальности: Программист, Математик
Лекция 1:

Предварительные сведения

Лекция 1: 123456 || Лекция 2 >

Графы

Мы часто сталкиваемся с задачами, в условиях которых заданы некоторые объекты и между некоторыми их парами имеются определенные связи. Если объекты изобразить точками ( вершинами ), а связи - линиями ( ребрами ), соединяющими соответствующие пары точек, то получится рисунок, называемый графом. Приведем основные определения.

Граф (ориентированный) - это пара (V, E), где V - конечное множество вершин (узлов, точек) графа, а E - некоторое множество пар вершин, т.е. подмножество множества V \times V или бинарное отношение на V. Элементы E называют ребрами (дугами, стрелками, связями). Для ребра e= (u,v) \in E вершина u называется началом e, а вершина v - концом e, говорят, что ребро e ведет из u в v.

В графе полустепень исхода вершины - это число исходящих из нее ребер, а полустепень захода - это число входящих в данную вершину ребер.

Заметим, что в графе может быть ребро вида (u,u), называемое петлей.

Пример 1.3. На рис. 1.1 приведен пример графа G_1=(V_1, E_1). Здесь V_1=\{ a,b,c,d\}, E_1=\{ (a,b), (a,c), (b,b), (b,d), (d,a)\}, В графе G_1 ребро (b,b) является петлей, полустепень исхода вершины a равна 2, а полустепень захода для нее равна 1.

Граф G1

Рис. 1.1. Граф G1

Во многих приложениях с вершинами и ребрами графов связывается некоторая дополнительная информация. Обычно она представляется с помощью функций разметки вершин и ребер.

Определение 1.6.

Размеченный граф - это граф G= (V, E), снабженный одной или двумя функциями разметки вида: l: V \rightarrow M и c: E \rightarrow L, где M и L - множества меток вершин и ребер, соответственно.

Упорядоченный граф - это размеченный граф G= (V, E), в котором ребра, выходящие из каждой вершины v \in V, упорядочены, т.е. помечены номерами 0, \ldots, k_v-1, где k_v - полустепень исхода v, т.е. k_v =|\{ w\ |\ (v,w) \in E\}|.

Упорядоченный граф с полустепенью исхода вершин \leq 2 называется бинарным.

В качестве множества меток ребер L часто выступают числа, задающие "веса", "длины", "стоимости" ребер. Графы с такой разметкой часто называют взвешенными.

Часто на одном множестве объектов определено несколько различных бинарных отношений. Для представления такой ситуации служат мультиграфы.

Определение 1.7. Мультиграф G= (V, E) состоит из конечного множества вершин V и мультимножества ребер E, состоящего из пар вершин (u,v) \in V \times V, в которое эти пары могут входить по нескольку раз.

Обычно несколько ребер, соединяющих одну и ту же пару вершин, различаются метками - именами соответствующих бинарных отношений. В лекциях 4-6 мультиграфы будут использоваться для представления диаграмм конечных автоматов.

Во многих случаях естественно не различать графы, отличающиеся лишь именами (порядком) вершин.

Определение 1.8. Изоморфизм графов. Два графа G_1= (V_1, E_1) и G_2= (V_2, E_2) называются изоморфными, если между их вершинами существует взаимно однозначное соответствие \varphi: V_1 \rightarrow V_2 такое, что для любой пары вершин u, v из V_1 ребро (u,v) \in E_1 \ \Leftrightarrow\ ребро (\varphi(u), \varphi(v)) \in E_2.

Для изоморфизма размеченных графов требуется также совпадение меток соответствующих вершин: l_1(v) = l_2(\varphi(v)) и/или ребер: c_1((u,v)) = c_2((\varphi(u), \varphi(v)) ).

Многие приложения графов связаны с изучением путей между их вершинами.

Определение 1.9.

Путь в ( мульти ) графе - это последовательность ребер вида e_1=(v_1,v_2),e_2=(v_2,v_3), \ldots ,
e_{n-1}=(v_{n-1},v_n). Этот путь ведет из начальной вершины v_1 в конечную вершину v_n и имеет длину n-1. В этом случае будем говорить, что v_n достижима из v_1. Будем считать, что каждая вершина достижима сама из себя путем длины 0. Путь в графе (не мультиграфе!) можно также определять как соответствующую последовательность вершин: (v_1,v_2,v_3, \ldots ,
v_{n-1},v_n), где (v_i,v_{i+1})\in E при i=1,2,\ldots, n-1.

Путь назывется простым, если все ребра и все вершины на нем, кроме, быть может, первой и последней, различны.

Циклом в графе называется путь, в котором начальная вершина совпадает с конечной и который содержит хотя бы одно ребро. Цикл (v_1,v_2, \ldots , v_{n-1},v_n=v_1) называется простым, если в нем нет одинаковых вершин, кроме первой и последней, т.е. если все вершины v_2, \ldots , v_{n-1} различны.

Если в графе нет циклов, то он называется ациклическим.

Следующее утверждение непосредственно следует из определений.

Лемма 1.1.Если в графе G имеется путь из вершины u в вершину v, то в нем имеется и простой путь из u в v.

Лекция 1: 123456 || Лекция 2 >
Гасан Баширов
Гасан Баширов
Азербайджан, Баку
Сергей Злобин
Сергей Злобин
Россия, Подольск