Тверской государственный университет
Опубликован: 21.08.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1313 / 43 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 14:18:00
ISBN: 978-5-94774-714-0
Специальности: Программист, Математик
Лекция 1:

Предварительные сведения

Лекция 1: 123456 || Лекция 2 >

Формулы

Как мы видели, табличное представление булевых функций подходит лишь для функций с небольшим числом аргументов. Формулы позволяют удобно представлять многие функции от большего числа аргументов и оперировать различными представлениями одной и той же функции.

Мы будем рассматривать формулы, построенные над множеством элементарных функций \mathcal{B}=\{ 0, 1, \neg, \wedge, \vee, \rightarrow, +, \sim,\ |
\}. Все эти функции, кроме констант, называются логическими связками или логическими операциями. При этом для 2-местных функций из этого списка будем использовать инфиксную запись, в которой имя логической связки помещается между 1-ым и 2-ым аргументами.

Зафиксируем некоторое счетное множество переменных V=\{ X_1, X_2, \ldots \}. Определим по индукции множество формул над \mathcal{B} с переменными из V. Одновременно будем определять числовую характеристику dep(\Phi) формулы \Phi, называемую ее глубиной, и множество ее подформул.

Определение 1.2. а) Базис индукции. 0, 1 и каждая переменная X_i \in V является формулой глубины 0, т.е. dep(X_i)= dep(0)= dep(1)=0. Множество ее подформул состоит из нее самой.

б) Шаг индукции. Пусть \Phi_1 и \Phi_2 - формулы, \circ \in \{  \wedge, \vee, \rightarrow, +, \sim,\ | \}. Тогда выражения \Phi= \neg  \Phi_1 и \Phi= ( \Phi_1 \circ
\Phi_2) являются формулами. При этом dep(\neg  \Phi_1)=1 + dep( \Phi_1), а dep((\Phi_1 \circ \Phi_2))=1 + \max\{dep( \Phi_1), dep( \Phi_2)\}. Множество подформул \Phi включает саму формулу \Phi и для \Phi= \neg  \Phi_1 все подформулы формулы \Phi_1, а для \Phi= ( \Phi_1 \circ \Phi_2) все подформулы формул \Phi_1 и \Phi_2.

Каждой формуле \Phi(X_1,\ldots, X_n) сопоставим булеву функцию, которую эта формула задает, используя индукцию по глубине формулы.

Базис индукции. Пусть dep(\Phi)=0. Тогда \Phi = X_i
\in V или \Phi =c \in \mathcal{B} В первом случае \Phi задает функцию f_{\Phi}(X_i)=X_i, во втором - функцию, тождественно равную константе c.

Шаг индукции. Пусть \Phi - произвольная формула глубины dep(\Phi)= k+1. Тогда \Phi(X_1,\ldots, X_n)=  \neg  \Phi_1(X_1,\ldots, X_n) или \Phi(X_1,\ldots, X_n)= ( \Phi_1(X_1,\ldots, X_n) \circ \Phi_2(X_1,\ldots, X_n)) для некоторой булевой связки \circ \in \{  \wedge, \vee, \rightarrow, +,
\sim,\ | \}. Так как \max \{dep( \Phi_1), dep(  \Phi_2)\} \leq k, то формулам \Phi_1 и \Phi_2 соответствующие функции f_1(X_1,\ldots, X_n) и f_2(X_1,\ldots, X_n) уже сопоставлены. Тогда формула \neg\Phi_1 задает функцию f_{\Phi} =\neg f_1(X_1,\ldots, X_n), а формула \Phi(X_1,\ldots, X_n)= ( \Phi_1(X_1,\ldots, X_n) \circ
\Phi_2(X_1,\ldots, X_n)) задает функцию f_{\Phi} =  f_1(X_1,\ldots, X_n) \circ f_2(X_1,\ldots,
X_n).

Для определения функции, задаваемой небольшой формулой, удобно использовать таблицу, строки которой сответствуют наборам значений переменных, а в столбце под знаком каждой логической связки стоят значения функции, задаваемой соответствующей подформулой.

Пример 1.1. Например, для формулы

\Phi_1= ( (X_1 \vee \neg\neg X_2)\rightarrow (X_3 + (X_1 \wedge \neg
X_2)))
функция f_{\Phi_1} задается выделенным столбцом \rightarrow следующей таблицы.

Таблица 1.3. Функция f_{\Phi_1}
X_1   X_2   X_3 ((X_1    \vee    \neg \neg    X_2) \rightarrow (X_3    +    (X_1    \wedge\    \neg X_2)))

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

 0  0  0 1  0

 0  0  0 1  0

 0  1  1 0  1

 0  1  1 0  1

 1  1  0 1  0

 1  1  0 1  0

 1  1  1 0  1

 1  1  1 0  1

1

1

0

1

1

0

0

1

0  0  0  0  1  0

1  1  0  0  1  0

0  0  0  0  0  1

1  1  0  0  0  1

0  1  1  1  1  0

1  0  1  1  1  0

0  0  1  0  0  1

1  1  1  0  0  1

Каждая строка этой таблицы задает процесс вычисления функции f_{\Phi_1} на соответствующих аргументах изнутри-наружу: вместо каждого вхождения переменной в формулу подставляется ее значение, затем в полученной формуле, состоящей из констант и булевых связок, последовательно вычисляются значения самых внутренних функций ( подформул ), для которых уже определены значения их аргументов, до тех пор, пока не будет получено значение всей формулы.

Лекция 1: 123456 || Лекция 2 >
Камариддин Уринов
Камариддин Уринов
Таджикистан, Гиссар