Тверской государственный университет
Опубликован: 21.08.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1310 / 43 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 14:18:00
ISBN: 978-5-94774-714-0
Специальности: Программист, Математик
Лекция 1:

Предварительные сведения

Лекция 1: 123456 || Лекция 2 >

Булевы функции от 1-ой и 2-х переменных

Перечислим вначале все булевы функции от 1-ой переменной x_1. Как мы знаем, их всего четыре.

  1. f_1(x_1)= 0 - константа 0;
  2. f_2(x_1)= 1 - константа 1;
  3. f_3(x_1)= x_1 - тождественная функция;
  4. f_4(0)=1, f_4(1)=0. Эта функция называется отрицанием x_1 и обозначается \neg x_1 (используется также обозначение \overline{x}_1, а в языках программирования эта функция часто обозначается как NOT
x_1 ).

В следующей таблице представлены наиболее используемые 12 (из 16) функций от 2-х переменных.

Таблица 1.2. Булевы функции от 2-х переменных
x_1    x_2 f_1 f_2 f_3 f_4 f_5 f_6 f_7 f_8 f_9 f_{10} f_{11} f_{12}

0  0

0  1

1  0

1  1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

0

Многие из этих функций часто считаются "элементарными" и имеют собственные обозначения.

  • f_1(x_1,x_2)= 0 - константа 0;
  • f_2(x_1, x_2)= 1 - константа 1;
  • f_3(x_1,x_2)= x_1 - функция, равная 1-му аргументу;
  • f_4(x_1,x_2)= \neg x_1 - отрицание x_1 ;
  • f_5(x_1,x_2)= x_2 - функция, равная 2-му аргументу;
  • f_6(x_1,x_2)= \neg x_2 - отрицание x_2 ;
  • f_7(x_1,x_2)= (x_1 \wedge x_2) - конъюнкция, читается " x_1 и x_2 " (используются также обозначения (x_1 & x_2), (x_1x_2), \min(x_1,x_2) и (x_1 AND x_2 ));
  • f_8(x_1,x_2)= (x_1 \vee x_2) - дизъюнкция, читается " x_1 или x_2 " (используются также обозначения (x_1 + x_2), \max(x_1x_2) и (x_1 OR x_2 ));
  • f_9(x_1,x_2)= (x_1 \rightarrow x_2) - импликация, читается " x_1 влечет x_2 " или "из x_1 следует x_2 " (используются также обозначения (x_1 \supset x_2), и ( IF x_1 THEN x_2 ));
  • f_{10}(x_1,x_2)= (x_1 + x_2) - сложение по модулю 2, читается " x_1 плюс x_2 " (используется также обозначение (x_1 \oplus x_2) );
  • f_{11}(x_1,x_2)= (x_1 \sim x_2) - эквивалентность, читается " x_1 эквивалентно (равносильно) x_2 " (используется также обозначение (x_1 \equiv
x_2) );
  • f_{12}(x_1,x_2)= (x_1 | x_2) - штрих Шеффера (антиконъюнкция), иногда читается как "не x_1 и x_2 ".

В качестве элементарных функций будем также рассматривать 0-местные функции-константы 0 и 1.

Отметим, что функции f_1(x_1,x_2) и f_2(x_1,x_2) фактически не зависят от значений обоих аргументов, функции f_3(x_1,x_2) и f_4(x_1,x_2) не зависят от значений аргумента x_2, а функции f_5(x_1,x_2) и f_6(x_1,x_2) не зависят от значений аргумента x_1.

Определение 1.1. Функция f(x_1,\ldots, x_i,\ldots, x_n) не зависит от аргумента x_i, если для любого набора значений \sigma_1,\ldots,\sigma_{i-1},\sigma_{i+1},\ldots, \sigma_n остальных аргументов f имеет место равенство

f(\sigma_1,\ldots,\sigma_{i-1},0,\sigma_{i+1},\ldots, \sigma_n)=
f(\sigma_1,\ldots,\sigma_{i-1},1,\sigma_{i+1},\ldots, \sigma_n).

Такой аргумент x_i называется фиктивным. Аргументы, не являющиеся фиктивными, называются существенными.

Функции f_1(x_1,\ldots, x_n) и f_2(x_1,\ldots, x_m) называются равными, если функцию f_2 можно получить из функции f_1 путем добавления и удаления фиктивных аргументов.

Например, равными являются одноместная функция f_3(x_1) и двухместная функция f_3(x_1,x_2), так как вторая получается из первой добавлением фиктивного аргумента x_2. Мы не будем различать равные функции и, как правило, будем использовать для обозначения равных функций одно и то же имя функции. В частности, это позволяет считать, что во всяком конечном множестве функций все функции зависят от одного и того же множества переменных.

Лекция 1: 123456 || Лекция 2 >