Опубликован: 22.01.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 2972 / 474 | Оценка: 4.05 / 4.28 | Длительность: 03:50:00
Специальности: Математик
Практическая работа 12:

Элементы непрерывного математического анализа

Аннотация: Решение типовых обыкновенных дифференциальных уравнений и исследование сходимости (расходимости) рядов, обучение реферированию и Интернет–поиску по этой теме

Задачи

  1. Выписать решение задачи Коши для уравнения роста численности популяции при отсутствии лимитирующих факторов. Решить конкретную задачу при k=0,01. Указание: прирост пропорционален численности или x'(t)=k\pi x(t).
  2. Выписать решение задачи Коши для уравнения развития отрасли при f(t)=0,1t2+0,2t+1, x(t0)=1. Указание: темп производства пропорционален объему (в идеальных условиях не лимитируемого производства) производимой продукции или x'(t)=k\pi x(t), где, например, k – коэффициент вложений в производство, x(t0)=1 – задано.
  3. Выписать решение задачи о распространении технологии при k=0,02 и максимальном уровне насыщения технологией хmax=100. Указание: x’(t)=k[xmax-x(t)], x(0)=x0 .
  4. Решить задачу Коши:

    • x’(t)=5x2t, x(0)=1 ;
    • xy’(x)=(x+1)(y–1), y(1)=2 ;
    • y’(x)–хy=3, y(0)=1.

    Указание: а), б) – разделить переменные; в) решить сперва однородное уравнение, разделив переменные.

  5. Решить уравнение:

    • y’’(x)+y=0 ;
    • y’’(x)–y’+y=0 ;
    • y’’(x)+y’–2y=0.

    Указание: выписать характеристическое уравнение и найти его корни.

  6. Найти решение задачи:

    y’’(x)+y’=0,  y’(0)=1, y(0)=2.

    Указание: выписать характеристическое уравнение и найти его корни.

  7. Исследовать на сходимость ( расходимость ) ряд:

    • \cfrac12+\cfrac15+\cfrac 18 + \dots + \cfrac {1}{3n-1}+ \dots =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cfrac {1}{3n-1} ;
    • 1+ \cfrac{1}{2^2}+\cfrac{1}{3^2} + \dots + \cfrac{1}{n^2}+\dots=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cfrac {1}{n^2} ;
    • \cfrac{1}{\ln2}+\cfrac{1}{\ln3}+\cfrac{1}{\ln4}+\dots+\cfrac{1}{\ln n}+\dots=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\cfrac {1}{\ln n} ;
    • \cfrac12-\cfrac15+\cfrac 18 - \dots + (-1)^{n+1}\cfrac {1}{3n-1}+\dots=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cfrac {(-1)^{n+1}}{3n-1}.

    Указание: использовать метод сравнения, например, с гармоническим рядом а); геометрической прогрессией б).

  8. Найти интервал сходимости степенного ряда:

    x+\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{x^3}{3}+\dots+\cfrac{x^n}{n}+\dots=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cfrac {x^n}{n}.

    Указание: использовать формулу для радиуса сходимости степенного ряда.

  9. Найти интервал сходимости ряда:

    x^2+\cfrac{x^4}{2}+\cfrac{x^6}{3}+\dots+\cfrac{x^{2n}}{n}+\dots=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cfrac {x^{2n}}{n}.

    Указание: использовать формулу для радиуса сходимости степенного ряда.

  10. Разложить в ряд Маклорена функцию:

    • y=cos(x) ;
    • y=ex ;
    • y=ex+2 .
  11. Указание: выписать через производные коэффициенты ряда.

Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)

  1. Теоремы о непрерывности, их приложения.
  2. Теоремы о дифференцируемости, их приложения.
  3. Теоремы об интегрируемости, их приложения.
  4. Дифференциальные уравнения, разнообразие и единство мира.
  5. Задача Коши, его история и эволюция.
  6. Основные (базовые) методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
  7. Ряды конечные и бесконечные, их философский анализ и сопоставление. Переход конечного в бесконечное.
  8. Функциональные ряды.
  9. Приложения рядов.
  10. Роль непрерывного анализа в развитии математической и общей культуры общества.
Татьяна Бурунова
Татьяна Бурунова
Альбина Солтыс
Альбина Солтыс

 

 

Любовь Радайкина
Любовь Радайкина
Россия, Самарская область
Эмиль Байрамов
Эмиль Байрамов
Россия, г. Москва