Опубликован: 22.01.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 2949 / 470 | Оценка: 4.05 / 4.28 | Длительность: 03:50:00
Специальности: Математик
Практическая работа 11:

Элементы линейной алгебры

Аннотация: Решение типовых задач линейной алгебры, евклидово пространство, обучение реферированию и Интернет–поиску по этой теме

Задачи

  1. Найти матрицы А+В, 3А–2В, А–1 , В–1 , если даны матрицы:

    A=\left\| \begin{array}{ccc} 0&1&1\\1&0&-2\\5&5&-9\end{array}\right \|, \, B=\left\| \begin{array}{ccc} 0&1&2\\2&0&2\\5&5&1\end{array}\right\|

    Указание: использовать соответствующие формулы, например, первый элемент А+В равен a11+b11=0+0=0.

  2. Найти обратную матрицу к матрицам:

    A=\left\| \begin{array}{cc} 1&-2\\-1&3\end{array}\right \|, \, B=\left\| \begin{array}{cc} -2&-1\\-1&3\end{array}\right \|

    Указание: использовать формулу: A^{-1}=\cfrac{1}{det(A)}A^*.

  3. Найти определитель к матрице

    A=\left\| \begin{array}{ccc} 3&-2&0\\-4&3&1\\-2&-2&-1\end{array}\right \|

    и к ее присоединенной матрице. Найти обратную к А матрицу. Указание: добавить ко второй строке третью и затем разложить по элементам третьего столбца.

  4. Будет ли матрица

    A=\left\| \begin{array}{ccc} 1&2&0\\1&3&1\\1&2&1\end{array}\right \|

    симметричной, диагональной, нулевой, единичной, имеющей нулевой определитель? Указание: все ответы – отрицательные (обоснуйте это!).

  5. Найти определитель, транспонированную, союзную и обратную матрицу для матрицы

    A=\left\| \begin{array}{cccc} 5&7&6&1\\3&1&8&1\\6&3&1&9\\5&2&9&1\end{array}\right \|

    Указание: для вычисления определителя вычесть первую строку из второй и четвертой, затем умножить первую строку на 9 и вычесть из третей строки, после чего разложить по элементам первой строки.

  6. Показать, что

    A=\left\| \begin{array}{cccc}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&4&1\\1&1&1&4\end{array}\right \|

    имеет собственные числа \lambda _{1}=0, \lambda _{2}=1, \lambda _{2}=3, \lambda _{4}=6 и собственные вектора:

    X_1=\left\| \begin{array}{c}1\\-1\\0\\0\end{array}\right \|, \, X_2=\left\| \begin{array}{c}2\\2\\-1\\-1\end{array}\right \|, \, X_3=\left\| \begin{array}{c}0\\0\\1\\-1\end{array}\right \|, \, X_4=\left\| \begin{array}{c}1\\1\\2\\2\end{array}\right \|

    Указание: выписать матричное характеристическое уравнение, записать соответствующей ему линейную систему алгебраических уравнений и решить ее.

  7. Решить методом Крамера и Гаусса систему:

    \left\{\begin{array}{l} 2x_1+x_2+2x_3=2\\ x_1-2x_2+3x_3=-1\\2x_1+4x_2-6x_3=4\end{array} \right

    Оценить количество выполненных арифметических операций в каждом методе и сравнить их. Какой метод более эффективный? Указание: подсчитывать все операции – и те, которые необходимы для исключения неизвестных в методе Гаусса, и те, которые необходимы для нахождения определителя в методе Крамера.

  8. Найти, если есть, решение системы линейных алгебраических уравнений:

    \left\{\begin{array}{l} 2x_1+x_2+2x_3+x_4=2\\ x_1-2x_2+3x_3-x_4=-1\\2x_1+4x_2-6x_3+3x_4=4\end{array} \right

    Указание: найти ранг системы, далее, перенести, например, х4 во всех уравнениях в правую часть и решить затем, считая х4 известным, задаваемым произвольно числом.

  9. Проверить для произвольной матрицы А выполнение аксиом нормы, если норму определять одним из способов:

    • \|A\| = \max\limits_{1\le j \le n}\sum\limits_{i=1}^n{|a_{ij}|} ;
    • \|A\| = \max\limits_{1\le i \le n}\sum\limits_{i=1}^n{|a_{ij}|} ;
    • \|A\| = |\det{(A)}|

    Указание: а) \|A\|\ge0 ; б) \|A\|=0 \Leftrightarrow A=0 ; в) \|A+B\|\le\|A\|+\|B\|.

  10. Древнекитайская задача: в одной клетке сидят фазаны и кролики, а всего в ней 35 голов и 94 ноги; сколько фазанов и кроликов в клетке? Указание: если x – число фазанов, y – число кроликов, то по условию задачи y=35, 2x+4y=94.

Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)

  • Матрицы и их приложения.
  • Действия с матрицами. Решение матричных уравнений.
  • Определители и их приложения.
  • Действия с определителями.
  • Собственные числа и вектора, их приложения.
  • Метод Крамера. Его теоретические и практические возможности.
  • Метод Гаусса. Его теоретические и практические возможности.
  • Решение систем уравнений большой размерности на компьютере.
  • Евклидово пространство. Его значение для математики.
  • Математические пространства (метрическое, нормированное, гильбертово и др.).
Татьяна Бурунова
Татьяна Бурунова
Альбина Солтыс
Альбина Солтыс

 

 

Антон Федоров
Антон Федоров
Россия, г. Москва