Опубликован: 22.01.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 2948 / 470 | Оценка: 4.05 / 4.28 | Длительность: 03:50:00
Специальности: Математик
Практическая работа 10:

Комбинаторика и числовые системы

Аннотация: Решение типовых задач комбинаторики (вычисление факториала, перестановки, подстановки, размещения, сочетания) и теории чисел, обучение реферированию и Интернет–поиску по этой теме

Задачи

  1. Докажите методом математической индукции формулу суммы членов арифметической прогрессии. Указание: формула – S_n=\cfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n.
  2. Записать для общего случая и с помощью знаков суммы и произведения неравенства:

    \begin{array}{c}x_1\le \cfrac {x_1}{1},\\ x_1x_2\le\cfrac{x_1+x_2}{2},\\ x_1x_2x_3\le\cfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\\\dots \end{array}

    Указание: найти индуктивно формулу

    x_1x_2\dots x_n \le \cfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}.

  3. Вычислите наиболее эффективно дробь (7!)/(5!). Указание: представить числитель через знаменатель.
  4. Решить рекуррентное уравнение:

    \begin{array}{l}x_n=\cfrac{1+x_{n-1}}{x_{n-2}}, \, n>1\\x_0 =a,\, x_1=b. \end{array}

    Указание: найти х3, затем х4 и получить соответствующую формулу для xn.

  5. Найдите формулу общего члена последовательности, удовлетворяющего рекуррентному соотношению:

    {c}x_1=0, x_2=2,\\ x_{n+2}=4x_{n+1}–x_n,  n=1,2,\dots

    Указание: найти х2, затем х3 и т.д.

  6. Имеется аудиторская фирма из 10 сотрудников. Сколько можно сформировать различных аудиторских групп фирмы по 5 человек? Сколько можно сформировать аудиторских групп численностью от 1 до 10 человек? Какие группы еще можно формировать и как находить их количество? Указание: использовать формулы для перестановок, подстановок и сочетаний.
  7. Вычислить по биному Ньютона 1,15. Как можно использовать формулу бинома Ньютона для приближенных вычислений? Указание: представить 1,1 как 1+0,1 и затем разложить по формуле бинома Ньютона.
  8. Вычислить наиболее эффективно суммы:

    • \sum\limits_{k=1}^n{\cfrac{2k+1}{k(k+1)}} ;
    • \sum\limits_{k=1}^n {\cfrac{(-1)^kk}{(4k^2-1)}} ;
    • \sum\limits_{k=0}^n {\cfrac{1}{k+1}}.

    Указание: а) представить 2k+1=k+k+1 и затем осуществить почленное деление; б) сгруппировать попарно все последовательные слагаемые и рассмотреть отдельно эти разности; в) сгруппировать.

  9. Вычислите числа Ферма и Мерсенна при n=4. Указание: выписать таблицу этих чисел и проанализировать.
  10. Постройте треугольник Паскаля при n=12. Указание: выписать числа, отражающие эту "треугольную таблицу".

Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)

  1. "Простая" и математическая индукция.
  2. Рекурсия, ее приложения в социально-гуманитарных областях. Примеры.
  3. Комбинаторика, ее различные приложения в социально-гуманитарных областях. Примеры.
  4. Теоремы суммирования и перемножения.
  5. Роль формул сокращения записей в математике и приложениях. Примеры.
  6. Мировоззренческая роль математики древних и средних веков.
  7. Красота математических формул. Примеры.
  8. Бином Ньютона, его приложения. Примеры.
  9. Цифровые системы. Примеры.
  10. Арифметика (алгебра чисел).
Татьяна Бурунова
Татьяна Бурунова
Альбина Солтыс
Альбина Солтыс

 

 

Александр Качанов
Александр Качанов
Япония, Токио
Евгений Малиновский
Евгений Малиновский
Россия