Опубликован: 22.01.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 2941 / 466 | Оценка: 4.05 / 4.28 | Длительность: 03:50:00
Специальности: Математик
Практическая работа 8:

Дифференцирование

Аннотация: Решение типовых задач дифференциального исчисления функции одной и нескольких переменных, обучение реферированию и Интернет–поиску по этой теме

Задачи

  1. Исходя лишь из определения производной, найти производную функции вида:

    • y=\sin x+\cos x ;
    • y=\sqrt{x} ;
    • y=x^3+3.

    Указание: оценить отношение

    \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y(x+\Delta x)}{\Delta x},\, \Delta x\to0

  2. Найти производную функции:

    • f(x)=\cfrac{2x^3-5x+1}{x^2-x+2} ;
    • f(x)=\cfrac{e^x+2}{1-e^{-x}} ;
    • f(x)=xe^x+\sin x \cos x.

    Указание: использовать формулы дифференцирования суммы, разности, произведения, дроби и таблицу производных.

  3. Найти производную функции:

    • f(x)=xe^{2x+2}+\sin x \cos{2x} ;
    • f(x)=\cfrac{2(x-4)^3-5\sin{(3x+1)}}{\cos{x^2}-2} ;
    • f(x)=\cfrac{\ln{(e^x+2)}}{\sin{e^{-x}}}.

    Указание: использовать формулы дифференцирования сложной функции, суммы, разности, произведения, дроби и таблицу производных.

  4. Найти частные производные до второго порядка включительно для функции z=x2y-xy2+5ln(x+y). Указание: использовать формулы uxx=(ux)x, uyy=(uy)y, uxy=uyx= (ux)y=(uy)x.
  5. Найти промежутки возрастания и убывания, точки перегиба и экстремума функции y=e—x+ex. Указание: это значения х, для которых, соответственно, y/>0, y/<0, y/=0.
  6. Найти экстремум, наибольшее и наименьшее значения функции y=sinx+cosx на промежутке [0;5). Указание: так как х<5, то y(5) вычислять не нужно.
  7. Найти экстремум, наибольшее и наименьшее значения функции

    f(x)=\cfrac{e^x+2}{1-e^{-x}}

    на отрезке [0;1]. Указание: исследовать тип экстремума в критической точке.

  8. Исследовать по полной схеме исследования функцию вида: y=2—3x+x2. Указание: найти области D(y), E(y), монотонности, периодичности, разрывы, перегибы, экстремумы, асимптоты, поострить график (эскиз).
  9. Исследовать по полной схеме исследования функцию вида: y=3e-2x+ex. Указание: найти области D(y), E(y), монотонности, периодичности, разрывы, перегибы, экстремумы, асимптоты, поострить график (эскиз).
  10. Исследовать по полной схеме исследования функцию вида: y=ln(x2+1). Указание: найти области D(y), E(y), монотонности, периодичности, разрывы, перегибы, экстремумы, асимптоты, поострить график (эскиз).

Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)

  1. Производная, ее происхождение.
  2. Различные смыслы (геометрический, физический, экономический и др.) производной.
  3. Исторические предпосылки формирования элементов дифференциального исчисления.
  4. Дифференциальное исчисление и его эволюция.
  5. Приложения дифференцирования в социально-экономических областях.
  6. Приложения дифференцирования в гуманитарных областях.
  7. Дифференцирование функции многих переменных.
  8. Экстремумы функций и их приложения.
  9. Методы дифференцирования.
  10. Фундаментальность дифференциального исчисления как метода исследования законов природы и общества.
Татьяна Бурунова
Татьяна Бурунова
Альбина Солтыс
Альбина Солтыс

 

 

Александр Качанов
Александр Качанов
Япония, Токио
Евгений Малиновский
Евгений Малиновский
Россия