Опубликован: 22.01.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 2941 / 466 | Оценка: 4.05 / 4.28 | Длительность: 03:50:00
Специальности: Математик
Практическая работа 7:

Предельный переход и непрерывность

Аннотация: Решение типовых задач на предельный переход в числовых последовательностях, предел и непрерывность функции, замечательные пределы, бесконечно малые и бесконечно большие величины, основные типы неопределенностей, обучение реферированию и Интернет–поиску по этой теме

Задачи

  1. Покажите, по определению предела последовательности, что \lim\limits_{n\to\infty} x_n =2, где x_n = \cfrac{2n+1}{n}, т.е. 3,\cfrac52,\cfrac73,\dots\cfrac{2n+1}{n}\to2 Указание: оценить сверху модуль |x_n – 2|.
  2. Найти пределы:

    • \lim\limits_{x\to\infty} \cfrac{3x+6}{6x-4},
    • \lim\limits_{x\to\infty} \cfrac{3x^3+6x^2+9}{6x^4-4x^3+4x+6},
    • \lim\limits_{x\to\infty} \cfrac{12x^3+6x^2+9x}{6x^3+2x^2+4x+6}.

    Указание:

    • разделить числитель и знаменатель на х ;
    • разделить числитель и знаменатель на х4 ;
    • разделить числитель и знаменатель на х3.
  3. Какие функции являются бесконечно малыми, а какие – бесконечно большими при x->x0 :

    • f(x)=x^3-x+5,\,x_0=0 ;
    • f(x)=1-x^2,\,x_0=\infty ;
    • f(x)=\cfrac{x+1}{x-1},\,x_0=1?

    Ответ обосновать. Указание: найти предел f(x) при x->x0 .

  4. Вычислить пределы:

    • \lim\limits_{x\to0}\cfrac{\sin3x}{x} ;
    • \lim\limits_{x\to0}\cfrac{\tg{2x}-\cos{3x}}{6x} ;
    • \lim\limits_{x\to0}\cfrac{1-\cos{4x}}{1-\cos{2x}}.

    Указание: а) умножить и разделить дробь на 3, а затем использовать первый замечательный предел ; б) представить тангенс через синус и косинус; в) использовать формулу 1 - \cos(2\alpha ) = 2 \sin^{2}\alpha и затем формулу синуса двойного угла.

  5. Вычислить пределы:

    • \lim\limits_{x\to0}\cfrac{\ln{(1-3x)}}{2x} ;
    • \lim\limits_{x\to0}\left(\cfrac{x+1}{x}\right)^{x+1} ;
    • \lim\limits_{x\to\infty}\left(\cfrac{x+8}{x-2}\right)^{x}.

    Указание: использовать второй замечательный предел.

  6. Показать, что функция

    f(x)=\cfrac{1}{x-2}

    имеет разрыв при x=2. Есть ли еще у этой функции разрыв? Указание: оценить отдельно пределы для x<2 и для x>2 при x \to 2.

  7. В какой точке имеет разрыв функция

    f(x)=\cfrac{x+1}{(x-3)(x+2)}?

    Указание: исследовать значения х, для которых f(x) стремится к бесконечности.

  8. Исследовать на непрерывность в области R функцию вида:

    • f(x)=\cfrac{x+1}{x^2-x+2} ;
    • f(x)=\cfrac{1}{1-e^{x-2}} ;
    • f(x)=\cfrac{x+1}{\ln x}.

    Указание: исследовать значения – 1. x=–1 ; x=2 ; 2. x=2 ; 3. х=0.

  9. Выяснить, имеет ли разрыв функция вида (и, если имеет, то в какой точке):

    • y=\tg x ;
    • y=\cfrac{1}{(x+1)^2} ;
    • y=\ln(x+2).

    Указание: исследовать значения – 1. x=0 ; 2. x= –1 ; 3. х= – 2.

  10. Оценить по теореме Вейерштрасса максимальное и минимальное значения функции

    f(x)=\cfrac{e^x+2}{e^{-x}}

    Указание: проверить непрерывность f(x) (применимость теоремы).

Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)

  • Пределы, их приложения в социально-гуманитарных областях. Примеры.
  • Замечательные пределы и их приложения в науке, практике. Примеры.
  • Предельный переход как философская категория.
  • Бесконечно большие и малые, их социально-гуманитарные приложения.
  • Философы древности о дискретности и непрерывности, их взаимоотношениях.
  • Непрерывное и дискретное – единство и борьба противоположностей.
  • Разрывы функции, их классификация и особенности. Примеры.
  • Методы "обхода" разрывов при анализе функциональных зависимостей.
  • Приложения (применения) теоремы Вейерштрасса. Примеры.
  • Типы неопределенностей и правила их раскрытия. Правила Лопиталя. Примеры.
Татьяна Бурунова
Татьяна Бурунова
Альбина Солтыс
Альбина Солтыс

 

 

Александр Качанов
Александр Качанов
Япония, Токио
Евгений Малиновский
Евгений Малиновский
Россия