Опубликован: 22.01.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 2950 / 470 | Оценка: 4.05 / 4.28 | Длительность: 03:50:00
Специальности: Математик
Практическая работа 6:

Уравнения и неравенства

Аннотация: Решение типовых задач на уравнения и неравенства, элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, обучение реферированию и Интернет–поиску по этой теме

Задачи

  1. Найти графически нуль уравнения: x=sin(x). Предложите один способ приближенного решения этого уравнения. Есть ли нуль уравнения на множестве натуральных чисел? Есть ли нуль уравнения на расширенном множестве натуральных чисел, который получается добавлением нуля к натуральным числам? Указание: постройте графики y=x, y=sin(x).
  2. Найти аналитически нуль уравнения: x6+27=x4-3x2+9 на множестве вещественных чисел. Есть ли нуль уравнения на множестве натуральных чисел? Указание: x6+27=(x2)3+33, x4-3x2+9 - разложить на множители, заменив x2=y.
  3. Нарисуйте окружность (x—4)2+(y+3)2=16. Найдите его центр и радиус. Запишите уравнение окружности в полярной системе координат. Запишите уравнение концентрической окружности с радиусом равным 2. Указание: заменить x, y по формулам x=\rho \cos \varphi, y=\rho \sin \varphi.
  4. Нарисуйте эллипс

    \cfrac{x^2}{16}+\cfrac{y^2}{9}=1

    Найдите его фокальные радиусы, полуоси, эксцентриситет. Запишите уравнение в полярной системе координат. Указание: заменить x, y по формулам x=\rho \cos \varphi, y=\rho \sin \varphi.

  5. Нарисуйте гиперболу

    \cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{9}=1

    Найдите его фокусы, полуоси. Запишите уравнение гиперболы в полярной системе координат. Указание: заменить x, y по формулам x=\rho \cos \varphi, y=\rho \sin \varphi.

  6. Нарисуйте следующие графики двух парабол на одном рисунке: y=4x2, x=8y2. Запишите уравнения парабол, симметричных каждой относительно осей координат и нарисуйте их. Указание: оси симметрии парабол – перпендикулярны.
  7. Нарисовать сферу (x—1)2+(y—3)2+(z+2)2=9. Укажите ее центр и радиус. Записать уравнение линии, получаемой при пересечении этой сферы и плоскости xOy. Указание: записать уравнение сферы в сферической системе координат.
  8. Пересекаются ли две сферы:

    \left\{ \begin{array}{l} x^2+(y-1)^2+(z-3)^2=16\\ (x-1)^2+y^2+z^2=4\end{array} \right ?

    Найти их точки пересечения, если они пересекаются. Указание: решить систему.

  9. Найдите точки пересечения линий:

    \cfrac{x^2}{16}+\cfrac{y^2}{9}=1,\\ \cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{9}=1,

    Нарисуйте это пересечение. Указание: сложить уравнения.

  10. Даны вектора \vec a = (1,0,1),\, \vec b = (-1,1,3),\, \vec c = (0,-2,3). Построить вектор \vec d = \vec a + 2 \vec b – 3\vec c, записать его в координатной форме. Найти попарно различные скалярные произведения векторов \vec a, \vec b, \vec c, проекцию вектора \vec d на вектор \vec a, угол между векторами \vec a, \vec c, уравнение прямой проходящей через начало координат параллельно вектору \vec d, условие параллельности вектора \vec d вектору \vec c = (c,-3c,2c), где с – некоторый числовой параметр (найти его). Указание: осуществить прииск по координатными сложением и вычитанием; условие коллинеарности двух векторов – пропорциональность их соответствующих координат.

Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)

  1. Уравнения, их происхождение, изучение и использование в истории древних веков.
  2. Неравенства, их происхождение, изучение и использование в истории древних веков.
  3. Эволюция уравнений и методов их решения.
  4. Эволюция неравенств и методов их решений.
  5. Изучение и использование решений уравнений и неравенств в современном мире.
  6. Кривые второго порядка и их виды, приложения. Примеры наиболее известных кривых.
  7. Поверхности второго порядка и их виды, приложения. Примеры наиболее известных поверхностей.
  8. Виды и ориентация прямых на плоскости и в пространстве.
  9. Виды и ориентация прямой и плоскости в пространстве и относительно друг друга.
  10. Уравнения, неравенства, их приложения в социально-гуманитарных областях.
Татьяна Бурунова
Татьяна Бурунова
Альбина Солтыс
Альбина Солтыс

 

 

Евгений Шаров
Евгений Шаров
Россия, Североморск, школа№11, 1991