Опубликован: 09.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3892 / 572 | Оценка: 4.09 / 3.28 | Длительность: 11:25:00
Специальности: Математик
Лекция 10:

Подпространства линейного пространства. Евклидово пространство. Линейные преобразования в линейном пространстве. Представление линейного преобразования матрицей. Действия над линейными преобразованиями. Примеры линейных преобразований

< Лекция 9 || Лекция 10: 123456

Представление линейного преобразования матрицей

Пусть в n -мерном пространстве R задано преобразование А, которое переводит вектор х \in  R в вектор у m -мерного пространства R1, т.е. задано преобразование у = Ах. Определим в пространствах R и R1 базисы соответственно l1, l2, ..., ln и g1, g2, ..., gm. Тогда векторы х и у могут быть представлены в координатной форме следующим образом

x=x_1 l_1+x_2 l_2+\ldots+x_n l_n;\; y=y_1 g_1+y_2 g_2+\ldots+y_m g_m , ( 9.10)
а координаты образа у выражают через координаты прообраза х
y=A(x_1 l_1+x_2 l_2+\ldots+x_n l_n)=x_1 A(l_1)+x_2 A(l_2)+\ldots+x_n A(l_n). ( 9.11)

Сравним выражение (9.11) вектора у с выражением (9.10). В результате получим gi = A(li), т.е. образ базиса l1, l2, ..., ln. Разложим А(l1), А(l2), ..., А(ln) по базису g1, g2, ..., gm:

\left\{
\begin{gathered}
A(l_1)=a_{11}g_1+a_{21}g_2+\ldots+a_{m1}g_m; \\
A(l_2)=a_{12}g_1+a_{22}g_2+\ldots+a_{m2}g_m; \\
\ldots \\
A(l_n)=a_{1n}g_1+a_{2n}g_2+\ldots+a_{mn}g_m.
\end{gathered}
\right. ( 9.12)

Заметим, что выражение (9.12) идентично по своей структуре формулам перехода (9.1).

Подставим выражения (9.12) в формулу (9.11), получим

\begin{gathered}
y=x_1(a_{11}g_1+a_{21}g_2+\ldots+a_{m1}g_m)+x_2(a_{12}g_1+ \\
+a_{22}g_2+\ldots+a_{m2}g_m)+\ldots+x_n(a_{1n}g_1+a_{2n}g_2+\ldots+a_{mn}g_m)= \\
=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n)g_1+(a_{21}x_1+ \\
+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n)g_2+\ldots+(a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n)g_m.
\end{gathered}

Сравнив последнее выражение с выражением (9.10) для у, можно записать связь между yj и xi как

\left\{
\begin{gathered}
y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n; \\
y_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n; \\
\ldpts \\
y_m=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n.
\end{gathered}
\right. ( 9.13)

Если теперь из коэффициентов системы (9.13) составить матрицу

A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{pmatrix}, ( 9.14)
а из элементов хi и уj матрицы-столбцы
x=
\begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n
\end{pmatrix}
; \quad
y=
\begin{pmatrix}
y_1\\y_2\\ \vdots \\ y_m
\end{pmatrix},
то систему уравнений (9.13) можно записать в матричном виде y = Ax, именно в таком виде, в каком ранее мы определили линейное преобразование А. Матрица А, определяемая формулами (9.14), называется матрицей линейного преобразования А.

Представим систему (9.12) в матричной записи L = A'(g), где обозначено

L=
\begin{pmatrix}
A(l_1)\\A(l_2)\\ \vdots \\A(l_m)
\end{pmatrix}
;\
g=
\begin{pmatrix}
g_1\\g_2\\ \vdots \\g_n
\end{pmatrix}
;\
A'=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{n1} \\
a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{n2} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{1m} & a_{2m} & \ldots & a_{nm} \\
\end{pmatrix}. ( 9.15)

Заметим, что матрица A' преобразования является транспонированной матрицей по отношению к матрице А и определяется выражением (9.14).

Определение 27. Если преобразование А переводит какой-либо ненулевой вектор х в нулевой, т.е. А(х) = 0 при х \ne  0, то преобразование А называют вырожденным.

Вырожденное преобразование А задается вырожденной матрицей, у которой detA = 0 (или по теории матриц ранг такой матрицы меньше ее размера).

В дальнейшем будем рассматривать наиболее важный случай, когда матрица преобразования А задается квадратной матрицей, т.е. когда m = n. Тогда говорят, что пространства R и R1 совпадают или что преобразование А задано в n -мерном пространстве с базисом l1, l2, ..., ln и отображает это пространство в себя.

Таким образом, каждому линейному преобразованию А в заданном базисе l1, l2, ..., ln соответствует квадратная матрица А порядка n и, наоборот, каждая квадратная матрица А порядка n определяет некоторое линейное преобразование А в заданном базисе l1, l2, ..., ln.

< Лекция 9 || Лекция 10: 123456
Светлана Соболева
Светлана Соболева

 

 

Даурен Махамбетсалиев
Даурен Махамбетсалиев
Василий Евграфов
Василий Евграфов
Россия, Москва