Опубликован: 09.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3891 / 572 | Оценка: 4.09 / 3.28 | Длительность: 11:25:00
Специальности: Математик
Лекция 9:

Линейная зависимость векторов. Размерность и базис линейного пространства. Линейные операции в координатах

< Лекция 8 || Лекция 9: 12 || Лекция 10 >

Линейные операции в координатах

В "лекции 4" , уже рассматривались линейные операции над векторами, такие как сложение, вычитание и умножение. Эти операции определяются следующей теоремой.

Теорема. При умножении вектора на число каждая из его координат умножается на это число, а при сложении складываются соответствующие координаты.

Доказательство. Пусть даны два произвольных вектора x и y и некоторое произвольное число \alpha  \ne  0. Разложим векторы по базису l1, l2, ..., ln, получим x=x1l1+x2l2+...+xnln и y=y1l1+y2l2+...+ynln и найдем произведение \alpha x

x\alpha =\alpha x_{1}l_{1}+\alpha x_{2}l_{2}+\dots +\alpha x_{n}l_{n}=(\alpha x_{1})l_{1}+(\alpha x_{2})l_{2}+\dots +(\alpha x_{n})l_{n} \Rightarrow  \alpha x=(\alpha x_{1}, \alpha x_{2}, \dots , \alpha x_{m})

и сумму x + y

x+y = (x1l1+x2l2+...+xnln)+(y1l1+y2l2+...+ynln)=
=(x1+y1)l1+(x2+y2)l2+...+(xn+yn)ln =>
=> x+y = [(x1+y1);(x2+y2);...;(xn+yn)].

Доказанная теорема очень важна в математике, так как из нее следует признак линейной зависимости и независимости векторов. Покажем это. Пусть в некотором n -мерном пространстве R задана система векторов:

\left\{
\begin{gathered}
x_1=(x_{11},x_{12},\ldots,x_{1n}); \\
x_2=(x_{21},x_{22},\ldots,x_{2n}); \\
\ldots \\
x_m=(x_{m1},x_{m2},\ldots,x_{mn}).
\end{gathered}
\right. ( 8.5)

Умножим каждый из векторов на некоторое число \alpha _{i} и сложим их все друг с другом. В результате получим линейную комбинацию этих же векторов, которая является новым вектором, равным, по определению 12, нулю

\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \ldots + \alpha_m x_m = 0. ( 8.6)

Распишем систему (8.6) в координатной форме

\alpha_1
\begin{pmatrix}
x_{11} \\
x_{12} \\
\vdots \\
x_{1n}
\end{pmatrix}
+\alpha_2
\begin{pmatrix}
x_{21} \\
x_{22} \\
\vdots \\
x_{2n}
\end{pmatrix}
+\ldots+\alpha_m
\begin{pmatrix}
x_{m1} \\
x_{m2} \\
\vdots \\
x_{mn}
\end{pmatrix}
=0, ( 8.7)
откуда следует однородная система уравнений
\left\{
\begin{gathered}
x_{11}\alpha_1+x_{21}\alpha_2+\ldots+x_{m1}\alpha_m = 0; \\
x_{12}\alpha_1+x_{22}\alpha_2+\ldots+x_{m2}\alpha_m = 0; \\
\ldots \\
x_{1n}\alpha_1+x_{2n}\alpha_2+\ldots+x_{mn}\alpha_m = 0,
\end{gathered}
\right. ( 8.8)
из коэффициентов которой составляют матрицу
M=
\begin{pmatrix}
x_{11} & x_{21} & \ldots & x_{m1} \\
x_{12} & x_{22} & \ldots & x_{m2} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
x_{1n} & x_{2n} & \ldots & x_{mn}
\end{pmatrix}. ( 8.9)

Равенство (8.7) эквивалентно равенствам (8.6) и (8.8). На основании теоремы можно утверждать, что векторы системы (8.5) линейно независимы тогда и только тогда, когда однородная система (8.8) имеет единственное нулевое решение, что на практике обозначает, что ранг матрицы (8.9) равен количеству векторов системы m.

< Лекция 8 || Лекция 9: 12 || Лекция 10 >
Светлана Соболева
Светлана Соболева

 

 

Даурен Махамбетсалиев
Даурен Махамбетсалиев
Александр Качанов
Александр Качанов
Япония, Токио
Александр Шадчнев
Александр Шадчнев
Россия