Опубликован: 09.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3892 / 572 | Оценка: 4.09 / 3.28 | Длительность: 11:25:00
Специальности: Математик
Лекция 7:

Скалярное произведение векторов. Свойства. Векторное произведение векторов. Свойства. Смешанное произведение векторов. Свойства

< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >
Аннотация: В лекции рассматриваются линейные операции над векторами, и дается практическое использование этих операций при решении различных задач

Умножение

Различают несколько видов операции умножения.

1. Умножение вектора на скалярную величину. При умножении вектора \overrightarrow{a} на скаляр \alpha получают новый вектор \overrightarrow{b}, длина (модуль) которого изменяется в \alpha раз, а направление совпадает с направлением исходного вектора \overrightarrow{a}, если \alpha  > 0, или противоположно исходному вектору, если \alpha  < 0. В координатной форме, если a = (ax;ay;az), то b = \lambda a= (\lambda a_{x};\lambda a_{y};\lambda a_{z}). Следовательно, операция умножения вектора на скаляр не влияет на компланарность (коллинеарность) векторов. Поэтому если несколько векторов до умножения на скаляр были компланарны (коллинеарны), то после умножения компланарность (коллинеарность) между ними сохранится.

Заметим, что любой вектор может быть представлен как произведение единичного, коллинеарного ему вектора на модуль рассматриваемого вектора, т.е. \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{b}|\cdot\overrightarrow{e}_b=b\cdot\overrightarrow{e}_b 1Модуль вектора можно обозначать |\overrightarrow{b}| или просто b. Из последнего равенства следует, что \overrightarrow{e}_b=\frac{\overrightarrow{b}}{b}. Операция умножения вектора на скаляр обладает свойствами коммутативности и ассоциативности: \alpha\cdot\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\cdot\alpha, (\alpha\cdot\overrightarrow{a}\cdot\beta=\alpha\cdot\beta\cdot\overrightarrow{a}), а также свойством дистрибутивности: (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})\cdot\alpha=\overrightarrow{a}\cdot\alpha+\overrightarrow{c}\cdot\alpha.

2. Скалярное произведение векторов.

Определение 14. Скалярным произведением двух векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} называется число S, равное S=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos(\overrightarrow{a}^{\wedge}\overrightarrow{b}). Эта операция обозначается \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} или (\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}).

В частности, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е.

(\overrightarrow{a})^2=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{a}|\cdot\cos(\overrightarrow{a}^{\wedge}\overrightarrow{a})=a\cdot a=a^2 .

Если один из перемножаемых векторов единичный, то:

\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{i}=a\cdot\cos(\overrightarrow{a}^{\wedge}\overrightarrow{i})=\text{Пр}_{\overrightarrow{i}}\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}_{\overrightarrow{i}}
В этом случае результат представляет собой проекцию вектора \overrightarrow{a} на направление единичного вектора \overrightarrow{i}. Следовательно, любой вектор можно представить как \overrightarrow{a}=a_x\cdot\overrightarrow{i}+a_y\cdot\overrightarrow{j}+a_z\cdot\overrightarrow{k}, где ax,ay,az - проекции вектора \overrightarrow{a} соответственно на оси 0х, 0у и 0z.

Если вектор представлен через проекции на базисные векторы, то говорят о разложении вектора \overrightarrow{a} по ортогональному базису. Из рис. 6.1 видно, что в этом случае вектор \overrightarrow{a} является главной диагональю прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат и равны длинам проекций вектора \overrightarrow{a} на эти оси. Из этого же рисунка следует, что модуль вектора \overrightarrow{a} численно будет равен |\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}.


Рис. 6.1.

Из определения скалярного произведения следует, что любой вектор, независимо от типа, можно представить в виде:

\overrightarrow{a}=(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{i})\overrightarrow{i}+(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{j})\overrightarrow{j}+(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{k})\overrightarrow{k},
где (\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{i}), (\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{j}) и \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{k} есть скалярное произведение вектора \overrightarrow{a} с ортами осей координат. Тогда из последнего равенства имеем
\begin{gathered}
\overrightarrow{a}=(|\overrightarrow{a}|\cdot\cos\alpha)\overrightarrow{i}+(|\overrightarrow{a}|\cdot\cos\beta)\overrightarrow{j}+(|\overrightarrow{a}|\cdot\cos\gamma)\overrightarrow{k}=\\
=|\overrightarrow{a}|\cdot((\cos\alpha)\overrightarrow{i}+(\cos\beta)\overrightarrow{j}+(\cos\gamma)\overrightarrow{k}),
\end{gathered}
где \alpha, \beta и \gamma - углы, которые составляет вектор \overrightarrow{a} соответственно с осями 0х, 0у и 0z.

Можно заметить, что скалярное произведение коммутативно и дистрибутивно, т.е. \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a} и (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}. Можно убедиться самостоятельно в том, что всегда выполняется равенство

(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})\alpha=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\alpha)=(\overrightarrow{a}\alpha)\cdot\overrightarrow{b}.

Замечание 1. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не нулевой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда

\cos(\overrightarrow{a}^{\wedge}\overrightarrow{b})=0,\;\text{т.е. } (\overrightarrow{a}^{\wedge}\overrightarrow{b})=\frac{\pi}{2}.

Замечание 2. \overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{i}=0, где \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k} - единичные векторы (орты) осей координат 2При этом оси координат могут быть взаимноперпендикулярны (ортогональны), хотя это и не обязательно. Данное замечание выполняется и для произвольной системы координат (косоугольной, криволинейной).

Замечание 3. \overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{j}=\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{k}=1.

Замечание 4. Скалярное произведение векторов в координатной форме

\begin{gathered}
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=(a_x\overrightarrow{i}+a_y\overrightarrow{j}+a_z\overrightarrow{k})\cdot(b_x\overrightarrow{i}+b_y\overrightarrow{j}+b_z\overrightarrow{k})= \\
=a_x b_x (\overrightarrow{i})^2+a_y b_y (\overrightarrow{j})^2+a_z b_z(\overrightarrow{k})^2=a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z.
\end{gathered}

Замечание 5. Используя формулу скалярного произведения векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}, можно найти выражение косинуса угла между этими векторами через их проекции на орты:

\cos(\overrightarrow{a}^{\wedge}\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}=\frac{a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}.

Если \cos(\overrightarrow{a}^{\wedge}\overrightarrow{b})<0, то это значит, что угол между векторами больше 90 \deg, т.е. тупой, а если \cos(\overrightarrow{a}^{\wedge}\overrightarrow{b})>0, то угол острый.

Замечание 6. Механический смысл скалярного произведения векторов. Скалярное произведение силы F на вектор перемещения S равно работе А этой силы при перемещении материальной точки по вектору S: A = FS.

< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >
Светлана Соболева
Светлана Соболева

 

 

Даурен Махамбетсалиев
Даурен Махамбетсалиев
Александр Качанов
Александр Качанов
Япония, Токио
Александр Шадчнев
Александр Шадчнев
Россия