Опубликован: 09.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3916 / 577 | Оценка: 4.09 / 3.28 | Длительность: 11:25:00
Специальности: Математик
Лекция 5:

Матричная запись системы. Метод Гаусса. Метод Крамера. Матричный способ

< Лекция 4 || Лекция 5: 12345 || Лекция 6 >

Условие совместности общей линейной системы. Теорема Кронекера - Капелли

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

\left.
\begin{aligned}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=b_2 \\
\ldots \\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_n
\end{aligned}
\right\}. ( 4.17)

Этой системе поставим в соответствие две матрицы. Первую

A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{pmatrix},
составленную из коэффициентов при неизвестных системы (4.17), называемую основной, и вторую
\left(
\begin{aligned}
&a_{11} & a_{12} && \ldots && a_{1n} \\
&a_{21} & a_{22} && \ldots && a_{2n} \\
&\ldots & \ldots && \ldots && \ldots \\
&a_{m1} & a_{m2} && \ldots && a_{mn}
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
&b_1 \\
&b_2 \\
&\ldots \\
&b_m
\end{aligned}
\right)
называемую расширенной матрицей системы (4.17).

ТЕОРЕМА (Кронекер и Капелли). Для того, чтобы система линейных уравнений (4.17) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы А был равен рангу ее расширенной матрицы В, то есть Rg A = Rg B.

Для системы (17) возможны следующие случаи:

  1. Rg A \ne   Rg B. В этом случае система несовместна, то есть решений не имеет.
  2. Rg A = Rg B = r. В этом случае система (4.17) совместна, то есть имеет хотя бы одно решение.

При этом:

если r = n ( n - число неизвестных), то система имеет единственное решение;

если r < n, то система имеет бесконечное число решений, которые находятся следующим образом:

  • в матрице А выделяется любой базисный минор r -го порядка \Delta _{p} \ne  0
  • выделяется подсистема, состоящая из уравнений, коэффициенты при неизвестных которых являются базисными строками или входят в минор \Delta _{r} ;
  • полученная подсистема решается по формулам Крамера (\Delta _{r} \ne  0) при произвольных значениях (n - r) неизвестных, коэффициенты которых не входят в минор \Delta _{r}.

Пример 8. Решить систему

\left.
\begin{aligned}
x_1+\phantom{2}x_2-3x_3=-1 \\
2x_1+\phantom{2}x_2-2x_3=\phantom{-}1 \\
x_1+\phantom{2}x_2+\phantom{0}x_3=\phantom{-}3 \\
x_1+2x_2-3x_3=\phantom{-}1
\end{aligned}
\right\}

Решение. Составим основную

A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -3 \\
2 & 1 & -2 \\
1 & 1 &  1 \\
1 & 2 & -3
\end{pmatrix}
и расширенную
\left(
\begin{aligned}
&1 & 1 && -3 \\
&2 & 1 && -2 \\
&1 & 1 && \phantom{-} 1 \\
&1 & 2 && -3
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
&-1 \\
&\phantom{-}1 \\
&\phantom{-}3 \\
&\phantom{-}1
\end{aligned}
\right)
матрицы системы. Найдем Rg A и Rg B с помощью элементарных преобразований.
\left(
\begin{aligned}
&1&1&&-3\\&2&1&&-2\\&1&1&&\phantom{-}1\\&1&2&&-3
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
&-1\\&\phantom{-}1\\&\phantom{-}3\\&\phantom{-}1
\end{aligned}
\right)
\Rightarrow
\left(
\begin{aligned}
&1&1&&-3\\&0&-1&&4\\&0&0&&4\\&0&1&&0
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
&-1\\&\phantom{-}3\\&\phantom{-}4\\&\phantom{-}2
\end{aligned}
\right)
\Rightarrow\\\Rightarrow
\left(
\begin{aligned}
&1&1&&-3\\&0&1&&-4\\&0&1&&0\\&0&0&&4
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
&-1\\&-3\\&\phantom{-}2\\&\phantom{-}4
\end{aligned}
\right)
\Rightarrow
\left(
\begin{aligned}
&1&1&&-3\\&0&1&&-4\\&0&0&&4\\&0&0&&4
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
&-1\\&-3\\&\phantom{-}5\\&\phantom{-}4
\end{aligned}
\right)
\Rightarrow\\\Rightarrow
\left(
\begin{aligned}
&1&1&&-3\\&0&1&&-4\\&0&0&&4\\&0&0&&0
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
&-1\\&-3\\&\phantom{-}5\\&\phantom{-}1
\end{aligned}
\right)

Анализируя решение получаем, что Rg A = 3, Rg B = 4, т.е. данная система несовместна.

Пояснения к РЕШЕНИЮ. При переходе от первой матрицы ко второй с помощью первой строки получены нули в первом столбце остальных строк; при переходе от второй матрицы к третьей поменяли местами третью и четвертую строки, при переходе от третьей к четвертой матрице с помощью второй строки получен нуль во втором столбце третьей строки; при переходе от четвертой матрицы к пятой с помощью третьей строки получен нуль в третьем столбце четвертой строки.

Пример 9: Исследовать на совместность и решить систему

\left.
\begin{aligned}
x_1-2x_2+3x_3-4x_4=\phantom{-}4 \\
x_2-\phantom{4}x_3+\phantom{4}x_4=-3 \\
x_1+3x_2\phantom{-13x_2}-3x_4=\phantom{-}1 \\
-7x_2+3x_3+\phantom{4}x_4=-3
\end{aligned}
\right\}

Решение. Составим основную и расширенную матрицы системы, соответственно:

A=
\begin{pmatrix}
1 & -2 & \phantom{-}3 & -4 \\
0 & \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}1 \\
1 & \phantom{-}3 &  \phantom{-}0 & -3 \\
0 & -7 & \phantom{-}3 & \phantom{-}1
\end{pmatrix}
\text{и }
B=
\left(
\begin{aligned}
&1 & -2 &&  3 && -4 \\
&0 &  1 && -1 &&  1 \\
&1 &  3 &&  0 && -3 \\
&0 & -7 &&  3 &&  1
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
 4 \\
-3 \\
 1 \\
-3
\end{aligned}
\right)

Как и в примере 8, найдем Rg A и Rg B с помощью элементарных преобразований матрицы В.

\left(
\begin{aligned}
&1&-2&&3&&-4\\&0&1&&-1&&1\\&1&3&&0&&-3\\&0&-7&&3&&1
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
&+4\\&-3\\&+1\\&-3
\end{aligned}
\right)
\Rightarrow
\left(
\begin{aligned}
&1&-2&&3&&-4\\&0&1&&-1&&1\\&0&5&&-3&&1\\&0&0&&-4&&8
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
&+4\\&-3\\&-3\\&-24
\end{aligned}
\right)
\Rightarrow\\\Rightarrow
\left(
\begin{aligned}
&1&-2&&3&&-4\\&0&1&&-1&&1\\&0&0&&2&&-4\\&0&0&&-1&&2
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
&+4\\&-3\\&12\\&-6
\end{aligned}
\right)
\Rightarrow
\left(
\begin{aligned}
&1&-2&&3&&-4\\&0&1&&-1&&1\\&0&0&&1&&-2\\&0&0&&0&&0
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
&+4\\&-3\\&6\\&0
\end{aligned}
\right)

Очевидно, RgA = RgB = 3 < 4, где 4 - число неизвестных, т.е. система имеет бесконечное множество решений.

Составим подсистему, состоящую из первых трех уравнений:

\left\{
\begin{aligned}
x_1-2x_2+3x_3-4x_4=4 \\
x_2-x_3+x_4=-3 \\
x_3-2x_4=6
\end{aligned}
\right.
\text{ или }
\left\{
\begin{aligned}
x_1-2x_2+3x_3=4x_4+4 \\
x_2-x_3=-x_4-3 \\
x_3=2x_4+6
\end{aligned}
\right.

Последнее уравнение дает выражение для x3 через x4:x3=2x4+6. Подставив полученное x3 во второе уравнение системы и приведя подобные получим выражение для x2 через x4:x2=x4+3. И, наконец, используя найденные x3 и x2, из первого уравнения найдем x1:x1=8. Таким образом имеем следующее множество решений: {(-8); (x4+3); (2x4+6)}, где x4 - произвольная постоянная.

Пример 10: Исследовать и решить систему

\left\{
\begin{aligned}
&\phantom{3}x_1+2x_2+3x_3=14 \\
&3x_1+2x_2+\phantom{3}x_3=10 \\
&\phantom{3}x_1+\phantom{3}x_2+\phantom{3}x_3=6 \\
&2x_1+3x_2-\phantom{3}x_3=5 \\
&\phantom{3}x_1+\phantom{3}x_2\phantom{+33x_3}=3
\end{aligned}
\right.

Решение. Составим основную и расширенную матрицы системы, соответственно:

A=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & -1 \\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
; \quad
B=
\left(
\begin{aligned}
&1 & 2 && 3 \\
&3 & 2 && 1 \\
&1 & 1 && 1 \\
&2 & 3 && -1 \\
&1 & 1 && 0
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
14 \\
10 \\
 6 \\
 5 \\
 3
\end{aligned}
\right)
и применим к матрице В элементарные преобразования для приведения ее к треугольному виду:
\left(
\begin{aligned}
&1&2&&3\\&3&2&&1\\&1&1&&1\\&2&3&&-1\\&1&1&&0
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
&14\\&10\\&6\\&5\\&3
\end{aligned}
\right)
\Rightarrow
\left(
\begin{aligned}
&1&2&&3\\&0&-4&&-8\\&0&-1&&-2\\&0&-1&&-7\\&0&-1&&-3
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
&14\\&-32\\&-8\\&-23\\&-11
\end{aligned}
\right)
\Rightarrow\\ \Rightarrow
\left(
\begin{aligned}
&1&2&&3\\&0&-1&&-2\\&0&-1&&-2\\&0&-1&&-7\\&0&-1&&-3
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
&14\\&-8\\&-8\\&-23\\&-11
\end{aligned}
\right)
\Rightarrow
\left(
\begin{aligned}
&1&2&&3\\&0&1&&2\\&0&0&&-5\\&0&0&&-1
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
&14\\&8\\&-15\\&-3
\end{aligned}
\right)
\Rightarrow\\ \Rightarrow
\left(
\begin{aligned}
&1&2&&3\\&0&1&&2\\&0&0&&1\\&0&0&&1
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
&14\\&8\\&3\\&3
\end{aligned}
\right)
\Rightarrow
\left(
\begin{aligned}
&1&2&&3\\&0&1&&2\\&0&0&&1
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
&14\\&8\\&3
\end{aligned}
\right).

В матрице В пришлось вычеркнуть две строки, но полученная матрица приведена к треугольному виду. RgA = RgB = 3 = n ( n - число неизвестных), то есть система имеет единственное решение. Используя последнюю матрицу, запишем данную систему

\left\{
\begin{aligned}
x_1+2x_2+3x_3=14; \\
x_2+2x_3=\phantom{1}8; \\
x_3=\phantom{1}3.
\end{aligned}
\right.

Решая систему, найдем x3=3; x2=2; x1=1. Ответ (1, 2, 3).

< Лекция 4 || Лекция 5: 12345 || Лекция 6 >
Светлана Соболева
Светлана Соболева

 

 

Даурен Махамбетсалиев
Даурен Махамбетсалиев
Александр Качанов
Александр Качанов
Япония, Токио
Александр Шадчнев
Александр Шадчнев
Россия