Опубликован: 09.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3916 / 577 | Оценка: 4.09 / 3.28 | Длительность: 11:25:00
Специальности: Математик
Лекция 5:

Матричная запись системы. Метод Гаусса. Метод Крамера. Матричный способ

< Лекция 4 || Лекция 5: 12345 || Лекция 6 >

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Рассмотрим для определенности систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

\left.
\begin{aligned}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2 \\
a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3
\end{aligned}
\right\}. ( 4.14)

Составив матрицы из коэффициентов системы, неизвестных и свободных членов, т.е.

A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix};
\;
X=
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix};
\;
B=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{pmatrix},
перепишем систему (14) в матричной форме:
AX=B ( 4.15)

Искомой в этом уравнении является матрица-столбец (или вектор-столбец) Х. Пусть А – невырожденная матрица, то есть detA \ne  0, и, следовательно, она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части (4.15) на А-1 слева, получаем:

A-1(AX)=A-1B=>(A-1A)X=A-1B=>EX=A-1B, т.е.

X=A^{-1}B ( 4.16)
и есть искомое решение системы (4.14). Действительно, подставив (4.16) в (4.14), получим:

A(A-1B)=(A-1A)B=EB=B.

Пример 7. Решить систему матричным методом:

\left\{
\begin{aligned}
&x+2y+z=3; \\
&2x+y-z=-6; \\
&3x+y+2z=1.
\end{aligned}
\right.

Решение. Запишем систему в матричной форме:

\underbrace{
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & -1 \\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}
}_{A}
\cdot
\underbrace{
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z 
\end{pmatrix}
}_{X}
=
\underbrace{
\begin{pmatrix}
3 \\
-6 \\
1 
\end{pmatrix}
}_{B}
и убедимся, что данная система совместно и имеет единственное решение. Для этого найдем главный определитель системы (детерминант матрицы A ).
\Delta=|A|=\det A=
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & -1 \\
3 & 1 & 2
\end{vmatrix}
=-12 \ne 0.

Так как детерминант матрицы A отличен от нуля, следовательно обратная матрица существует и указанный метод применим к решению системы.

Для составления присоединенной матрицы А* найдем алгебраические дополнения

\begin{gathered}
A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=3; \;
A_{21}=-\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=-3; \;
A_{31}=\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-3; \\
A_{12}=-\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}=-7; \;
A_{22}=\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}=-1; \;
A_{32}=-\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}=3; \\
A_{13}=\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=-1; \;
A_{23}=-\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=5; \;
A_{33}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=-3;
\end{gathered}

Составляем присоединенную матрицу А*:

A^*=
\begin{pmatrix}
3 & -3 & -3 \\
-7 & -1 & 3 \\
-1 & 5 & -3 
\end{pmatrix},
следовательно, обратная матрица будет
A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdotA^*=-\frac{1}{12}
\begin{pmatrix}
3 & -3 & -3 \\
-7 & -1 & 3 \\
-1 & 5 & -3 
\end{pmatrix},

Тогда

X=A^{-1}B=-\frac{1}{12}
\begin{pmatrix}
3 & -3 & -3 \\
-7 & -1 & 3 \\
-1 & 5 & -3 
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
3 \\ -6 \\ 1  
\end{pmatrix}
=-\frac{1}{12}\cdot
\begin{pmatrix}
3\cdot 3 + (-3)\cdot(-6)+(-3)\cdot 1 \\
(-7)\cdot 3 + (-1)\cdot(-6)+3\cdot 1 \\
(-1)\cdot 3 + 5\cdot(-6)+(-3)\cdot 1
\end{pmatrix}
=-\frac{1}{12}\cdot
\begin{pmatrix}
24 \\ -12 \\ -36  
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2 \\ 1 \\ 3  
\end{pmatrix}.
Т.е. х = -2; у = 1; z = 3.

< Лекция 4 || Лекция 5: 12345 || Лекция 6 >
Светлана Соболева
Светлана Соболева

 

 

Даурен Махамбетсалиев
Даурен Махамбетсалиев
Александр Качанов
Александр Качанов
Япония, Токио
Александр Шадчнев
Александр Шадчнев
Россия