Опубликован: 09.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3915 / 577 | Оценка: 4.09 / 3.28 | Длительность: 11:25:00
Специальности: Математик
Лекция 5:

Матричная запись системы. Метод Гаусса. Метод Крамера. Матричный способ

< Лекция 4 || Лекция 5: 12345 || Лекция 6 >

Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Если в системе (4.2) свободные члены равны нулю, то есть b1 = b2 = b3 = 0, то систему

\left\{
\begin{aligned}
a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = 0 \\
a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = 0 \\
a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = 0
\end{aligned}
\right. ( 4.8)
называют однородной. Тогда систему (4.8), в которой хотя бы один из свободных членов не равен нулю, называют неоднородной. Очевидно, что для однородной системы (4.8) \Delta _{х} = 0; \Delta _{y} = 0; \Delta _{z} = 0 и равенства (4.4) и (4.6) примут вид:
\Delta \cdot x=0; \; \Delta \cdot y =0; \; \Delta \cdot z = 0. ( 4.9)

Если \Delta  \ne  0, то из (4.9) следует, что система (4.8) имеет единственное решение х = 0; y = 0; z = 0. Отсюда следует вывод, что чтобы однородная система (4.8) имела непрерывное решение, необходимо, чтобы \Delta  = 0. Действительно, если в тройке (х, y, z), например, х \ne  0, то из равенства \Delta х = 0 следует, что \Delta  = 0.

Справедливо и обратное утверждение, т.е. если \Delta  = 0, то система (4.8) обязательно имеет ненулевое решение (причем бесчисленное множество).

Пусть в системе (4.8) первые два уравнения независимы, а третье является линейной комбинацией первых двух. Тогда система (4.8) равносильна следующей системе двух уравнений с тремя неизвестными

\left\{
\begin{aligned}
&a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=0 \\
&a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=0
\end{aligned}.
\right. ( 4.10)

Пусть для (10)

\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{21} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}
\ne 0,
тогда систему (8) можно записать в виде
\left\{
\begin{aligned}
&a_{11}x+a_{12}y=-a_{13}z \\
&a_{21}x+a_{22}y=-a_{23}z
\end{aligned}
\right.
и решить по правилу Крамера, что дает
x=\frac{
\begin{vmatrix}
-a_{13}z & a_{12} \\
-a_{23}z & a_{22}
\end{vmatrix}
}
{
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}
}
=
\frac{
\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{22} & a_{23}
\end{vmatrix}
}
{
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}
}
\cdot z; \;
y=
\frac{
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{21} & a_{23}
\end{vmatrix}
}
{
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}
}
\cdot (-z).

Полагая

z=K\cdot
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix},
получим решение системы (10) в виде:
x=K\cdot
\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{22} & a_{23}
\end{vmatrix}
; \; y=-K \cdot
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{21} & a_{23}
\end{vmatrix}
; \; z=K\cdot
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}. ( 4.11)

Пример 5. Решить систему

\left\{
\begin{aligned}
&2x+3y+5z=0 \\
&4x+2y-6z=0
\end{aligned}.
\right.

Решение. Так как

\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
4 & 2
\end{vmatrix}
=-8 \ne 0
, то, применяя формулы (11), найдем
x=K\cdot
\begin{vmatrix}
3 & 5 \\
2 & -6
\end{vmatrix}
=-28K; \; 
y=-K \cdot
\begin{vmatrix}
2 & 5 \\
4 & -6
\end{vmatrix}
=32K; \; 
z=K\cdot
\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
4 & 2
\end{vmatrix}
=-8K,
то есть множество решений будет E={(-28K; 32K; -8K)}

или, вынося общий множитель 4 E={(-7K; 8K; -2K)}.

Замечание. Определители в формулах (4.11) легко запомнить как получить: матрице из коэффициентов системы (4.10)

\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
поочередно вычеркивать столбцы коэффициентов при x, y, z, что будет давать соответствующие определители для x, y, z, причем при y надо брать знак минус.

< Лекция 4 || Лекция 5: 12345 || Лекция 6 >
Светлана Соболева
Светлана Соболева

 

 

Даурен Махамбетсалиев
Даурен Махамбетсалиев
Мария Кириленко
Мария Кириленко
Амина Кочекаева
Амина Кочекаева
Россия, Ставропольский край