Опубликован: 09.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3891 / 572 | Оценка: 4.09 / 3.28 | Длительность: 11:25:00
Специальности: Математик
Лекция 5:

Матричная запись системы. Метод Гаусса. Метод Крамера. Матричный способ

< Лекция 4 || Лекция 5: 12345 || Лекция 6 >
Аннотация: В лекции рассмотрено использование ранее изученных методов для поиска решений системы линейных уравнений

Правило Крамера

Основные задачи изучения системы (3.1), "лекции 3" :

  1. Выяснить, является ли система (3.1) совместной или несовместной.
  2. Если система (3.1) совместна, то выяснить, является ли она определенной и найти решения.

Далее рассмотрим, в частности, систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.

\left\{
\begin{aligned}
a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1 \\
a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2 \\
a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3
\end{aligned}
\right. ( 4.2)

Составим из коэффициентов при неизвестных системы (4.2) определитель этой системы

\Delta=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}.

Умножим обе части первого уравнения почленно на алгебраическое дополнение А11 элемента а11, второе уравнение - на алгебраическое дополнение А21 элемента а21, а третье - на алгебраическое дополнение А31 элемента а31.

\left\{
\begin{aligned}
a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1 \\
a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2 \\
a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3
\end{aligned}
\right.
\left|
\begin{aligned}
A_{11} \\ A_{21} \\ A_{31}
\end{aligned}
\right.

Сложим все три полученных уравнения, умножив предварительно на соответствующие алгебраические дополнения, получим

\begin{gathered}
(a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31})x + (a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+a_{32}A_{31})y + \\
+(a_{13}A_{11}+a_{23}A_{21}+a_{33}A_{31})z = b_1 A_{11}+b_2 A_{21}+b_3 A_{31} .
\end{gathered} ( 4.3)

Коэффициенты при y и z в силу свойства определителя (см. "лекц. 1" , теорема 2) равны нулю, а коэффициент при х на основании тех же свойств (см. "лекц. 1" , теорема 1) равен \Delta, т.е. a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31}=\Delta, поэтому равенство (4.3) примет вид:

\Delta x = \Delta_x , ( 4.4)
\text{где} \quad
\Delta_x=
\begin{vmatrix}
b_1 & a_{12} & a_{13} \\
b_2 & a_{22} & a_{23} \\
b_3 & a_{32} & a_{33} 
\end{vmatrix}
=b_1 A_{11}+b_2 A_{21}+b_3 A_{31} . ( 4.5)

Заметим, что определитель \Delta _{х} получается из определителя \Delta путем замены коэффициентов а11, а21, а31 при неизвестном х свободными членами или замены первого столбца \Delta коэффициентов при искомом х столбцом свободных членов. Аналогично получаются другие равенства:

\Delta y = \Delta_y , \quad \Delta z = \Delta_z , ( 4.6)
\text{где} \quad \Delta_y
\begin{vmatrix}
a_{11} & b_1 & a_{13} \\
a_{21} & b_2 & a_{23} \\
a_{31} & b_3 & a_{33} 
\end{vmatrix};
\Delta_z
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & b_2 \\
a_{31} & a_{32} & b_3 
\end{vmatrix}.

Определители \Delta _{y} и \Delta _{z} получают из определителя системы \Delta заменой второго и третьего столбцов \Delta коэффициентов при y и z столбцом свободных членов.

Рассмотрим следующие случаи.

  1. \Delta \ne 0. Тогда из равенств (4.4) и (4.5) находим решение системы (2) как
    x=\frac{\Delta_x}{\Delta}; \; y=\frac{\Delta_y}{\Delta}; \; z=\frac{\Delta_z}{\Delta}, ( 4.7)
    которые называют формулами Крамера.
  2. \Delta=0, \text{ а } \Delta_x^2 + \Delta_y^2 + \Delta_z^2 > 0. Тогда по крайней мере один из \Delta _{х}, \Delta _{y} или \Delta _{z} отличен от нуля и система (4.2) не имеет решения (система несовместна), что можно показать. Пусть, например, \Delta _{х}\ne 0. Тогда равенство из (4.4) получаем \Delta х = \Delta _{х} или 0xх = \Delta _{х}, что невозможно.
  3. \Delta =0 и \Delta _{х} = \Delta _{y} = \Delta _{z} = 0. Тогда система (4.2) либо не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений.

Пример 1. Решить систему

\left\{
\begin{aligned}
& 2x-4y+z=3 \\
& x-5y+3z=-1 \\
& x-y+z=1
\end{aligned}.
\right.

Решение. Вычислим все определители.

\Delta=
\begin{vmatrix}
2 & -4 & 1 \\
1 & -5 & 3 \\
1 & -1 & 1
\end{vmatrix}
=-8; \quad \Delta_x=
\begin{vmatrix}
3 & -4 & 1 \\
-1 & -5 & 3 \\
1 & -1 & 1
\end{vmatrix}
=-16; \quad \Delta_y=
\begin{vmatrix}
2 & 3 & 1 \\
1 & -1 & 3 \\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
=0; \quad \Delta_z=
\begin{vmatrix}
2 & -4 & 3 \\
1 & -5 & -1 \\
1 & -1 & 1
\end{vmatrix}
=8.

Так как \Delta  = -8 \ne  0, то данная система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера (4.7):

x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{-16}{-8}=2;\;y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{0}{-8}=0;\;z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{8}{-8}=-1,
т.е. (2, 0, -1) - искомое решение системы.

Пример 2. Решить систему

\left\{
\begin{aligned}
2x+3y=5; \\
4x+6y=7.
\end{aligned}
\right.

Решение. Вычислим определители

\Delta=
\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
4 & 6
\end{vmatrix}
=0; \; 
\Delta_x=
\begin{vmatrix}
5 & 3 \\
7 & 6
\end{vmatrix}
=9 \ne 0; \;
\Delta_y=
\begin{vmatrix}
2 & 5 \\
4 & 7
\end{vmatrix}
=-6 \ne 0 ,

т.е. система решений не имеет (случай 2)

Пример 3. Решить систему

\left\{
\begin{aligned}
&x-y+2z=-2; \\
&2x-2y+4z=4; \\
&3x-3y+6z=3.
\end{aligned}
\right.

Решение. Нетрудно убедиться в том, что \Delta  = 0 и \Delta _{х} = \Delta _{y} = \Delta _{z} = 0. Данная система не имеет решений, так как первое и третье уравнения противоречивы. Если умножить первое уравнение на 3 и вычесть из полученного уравнение третье, то придем к ложному равенству 0 = 3.

Пример 4. Решить систему

\left\{
\begin{aligned}
&2x+3y-z=3 \\
&4x+6y-2z=6 \\
&3x-y+2z=-1
\end{aligned}.
\right.

Решение. Нетрудно убедиться в том, что \Delta  = 0 и \Delta _{х} = \Delta _{y} = \Delta _{z} = 0. Так как второе уравнение получается из первого умножением на 2, то данная система равносильна системе двух уравнений относительно трех неизвестных

\left\{
\begin{aligned}
&2x+3y-z=3 \\
&3x-y+2z=-1
\end{aligned}
\right.
Так как
\Delta=
\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
3 & -1
\end{vmatrix}
= -11 \ne 0,
то можно найти решение последней системы
\left\{
\begin{aligned}
&2x+3y=z+3 \\
&3x-y=-2z-1
\end{aligned}
\right.
в которой переменная z является свободной, и, следовательно, исходная система имеет бесконечное множество решений, которое можно найти либо по формулам Крамера, либо методом исключений. В результате получим (-5z/11; (7z+11)/11; z), где z может принимать произвольные значения.

< Лекция 4 || Лекция 5: 12345 || Лекция 6 >
Светлана Соболева
Светлана Соболева

 

 

Даурен Махамбетсалиев
Даурен Махамбетсалиев
Евгений Шаров
Евгений Шаров
Россия, Североморск, школа№11, 1991