Опубликован: 09.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3916 / 577 | Оценка: 4.09 / 3.28 | Длительность: 11:25:00
Специальности: Математик
Лекция 4:

Системы линейных уравнений. Их решение. Системы линейных уравнений. Виды

< Лекция 3 || Лекция 4: 12 || Лекция 5 >
Аннотация: В лекции рассмотрены различные виды систем линейных уравнений и способы нахождения решения в зависимости от вида

Основные определения

В общем случае линейная система, составленная из К линейных уравнений относительно n неизвестных примет вид:

\left.
\begin{gathered}
a_{11}x_1+a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\ldots \\
a_{k1}x_1+a_{k2}x_2 + \ldots + a_{kn}x_n = b_k
\end{gathered}
\right\} ( 3.1)
где x1, x2, ..., xn - неизвестные; a11, a12, ..., akn - коэффициенты при неизвестных; b1, b2, ..., bk - свободные члены.

Определение 1. Решением системы (1) называется совокупность из n чисел 1, с2, ..., сn), которые, будучи подставленными в систему (1) на место неизвестных x1, x2, ..., xn, обращают все уравнения системы в истинные равенства.

Не всякая система вида (1) имеет решение. Например, очевидно, что система

\left.
\begin{aligned}
& 3x_1+4x_2=7 \\
& 3x_1+4x_2=12
\end{aligned}
\right\}
не имеет ни одного решения. А вот система
\left.
\begin{aligned}
& 3x_1+4x_2=7 \\
& 3x_1+4x_2=7
\end{aligned}
\right\}
имеет бесконечное множество решений. Поэтому, прежде чем начать решать составленную систему, необходимо выяснить, есть ли вообще решение. Это необходимо делать хотя бы потому, что в общем случае поиск решения системы уравнения оказывается долгим и сложным делом.

Определение 2. Систему уравнений (1), имеющую хотя бы одно решение, называют совместной, систему, не имеющую решений, - несовместной.

Определение 3. Решения \left( c_1^{(1)}, c_2^{(1)}, \ldots c_n^{(1)} \right) и \left( c_1^{(2)}, c_2^{(2)}, \ldots c_n^{(2)} \right) считают различными, если хотя бы одно из чисел c_i^{(1)} не совпадает с соответствующим числом c_i^{(2)}.

Например, система

\left.
\begin{aligned}
& 3x_1+4x_2=0 \\
& 6x_1+8x_2=0
\end{aligned}
\right\}
имеет различные решения c_1^{(1)}=c_2^{(1)}=0 и c_1^{(2)}=4; \; c_2^{(2)}=-3. Системы, имеющие хотя бы 2 различных решения, имеют бесконечное количество разных решений.

Определение 4. Если совместная система имеет единственное решение, то она называется определенной ; если совместная система имеет по крайней мере два различных решения, то она называется неопределенной.

< Лекция 3 || Лекция 4: 12 || Лекция 5 >
Светлана Соболева
Светлана Соболева

 

 

Даурен Махамбетсалиев
Даурен Махамбетсалиев
Александр Качанов
Александр Качанов
Япония, Токио
Александр Шадчнев
Александр Шадчнев
Россия