Опубликован: 09.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3920 / 577 | Оценка: 4.09 / 3.28 | Длительность: 11:25:00
Специальности: Математик
Лекция 3:

Матрицы. Основные определения и виды матриц. Действия над матрицами. Понятие ранга матрицы. Операции над матрицами. Понятие и нахождение обратной матрицы

< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >

Матрицы. Ранг матрицы

Определение 7. Если матрица A не нулевая, т.е. существует хотя бы один aij элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда можно указать натуральное число r такое, что

  1. у матрицы A имеется минор r - го порядка, для которого \Delta _{r}\ne 0 ;
  2. всякий минор матрицы A порядка r+1 и выше равен нулю, тогда число r, обладающее указанными свойствами называется рангом матрицы A и обозначается r = RgA.

Из определения 7 вытекает, что

  1. ранг любой прямоугольной матрицы не должен быть больше, чем минимальный размер матрицы. Если матрица квадратная, то ранг не может быть больше, чем размер матрицы. Математически это можно выразить так r<=min(m,n).
  2. если все элементы матрицы A равны нулю, т. е. aij=0, то ранг этой матрицы тоже будет равен нулю r = RgA = 0.

Понятие ранга матрицы играет очень важную роль при построении графиков, при нахождении решения системы линейных уравнений, при переходе от одного базиса к другому, а также широко используется в прикладных исследованиях, особенно при обработке результатов эксперимента, выделения аномалий и количественного определения качества предоставленной для изучения информации. Об этих и многих других задачах мы будем говорить несколько позже.

Определение 8. Всякий детерминант минора матрицы A, отличный от нуля, размер которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором. Т.е. иными словами ранг матрицы A это наивысший отличный от нуля минор.

Пример. Найти ранг матрицы

A=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.

Решение. Так как в этой матрице только в одной строке есть отличные от нуля члены, то RgA=1.

Пример. Найти ранг матрицы

A=
\begin{pmatrix}
7 & 5 & 3 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.

Решение. Для проверки найдем детерминант этой матрицы: detA=7. И так как он отличен от нуля, 7 \ne  0, значит, ранг матрицы равен 3, т.е. в матрице нет пропорциональных строк или столбцов. В противном случае detA был бы равен нулю ( "лекция 1" , свойство 3).

Пример. Найти ранг матрицы

A=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 3 \\
5 & 0 & 7
\end{pmatrix}.

Решение. Очевидно, что detA=0, т.к. матрица содержит нулевую строку. Вычеркнем первую строку и второй столбец и найдем определитель полученного минора

\det(M_2)=
\begin{vmatrix}
1 & 3 \\
5 & 7
\end{vmatrix}
=7-15=-8 \ne 0,
следовательно, делаем вывод, что RgA = 2.

< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >
Светлана Соболева
Светлана Соболева

 

 

Даурен Махамбетсалиев
Даурен Махамбетсалиев
Виталий Поздняков
Виталий Поздняков
Россия