Опубликован: 09.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3915 / 577 | Оценка: 4.09 / 3.28 | Длительность: 11:25:00
Специальности: Математик
Лекция 2:

Определители и их свойства. Определители второго порядка и их свойства. Определители третьего порядка и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения

< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >
Аннотация: В лекции рассказывается о системах линейных уравнений со многими неизвестными и постоянными коэффициентами и некоторых базовых способах поиска решения

Определители второго порядка и их свойства

На практике часто исследователю приходится иметь дело с неизвестными величинами, связанными между собой некоторыми заранее определенными зависимостями, которые могут быть выражены любыми формулами. Если при этом выполняется ряд условий:

  1. коэффициенты в формулах постоянные,
  2. неизвестные входят в формулы только в первой степени,
  3. отсутствуют произведения между самими неизвестными,

то тогда такие зависимости называют линейными.

Пример. В лаборатории 10 образцов имеют общий вес 280 г. Найти средний вес одного образца, если тара весит 15 г.

Решение. Для ответа на вопрос воспользуемся простым уравнением:

10x+15=280,

обозначив за x средний вес одного образца. Решением составленного уравнения будет 26,5 г.

Пример. В лаборатории 10 образцов, поступивших от 1 отдела, и 10 образцов, поступивших от 2-го отдела, имеют общий вес 280 г, а 5 образцов из первого набора и 2 образца из второго набора имеют общий вес 128 г. Найти средний вес образцов в каждом наборе.

Решение. Для ответа на вопрос составим два уравнения, обозначив за x - средний вес образца породы 1, а за y - средний вес образца породы 2,

10x+10y=280;
5x+2y=128,

решая которые совместно, получаем x=24 г; y=4 г.

В обоих рассмотренных примерах мы имели дело с линейными зависимостями: в первом случае – с линейным уравнением, а во втором – с линейной системой уравнений.

Заменим коэффициенты буквами и получим линейную систему уравнений:

\left\{
\begin{aligned}
a_{11}x+a_{12}y=b_1; \\
a_{21}x+a_{22}y=b_2,
\end{aligned}
\right. ( 1.1)

где a11, a12, a21, a22, b1, b2, - некоторые числа, x, y - неизвестные. Составим из коэффициентов системы (1.1) прямоугольную таблицу вида

\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix} ( 1.2)

Определение 1. Матрицей будем называть любую прямоугольную таблицу, составленную из чисел aij

Определение 2. Элементы aij из которых составлена матрица, называют элементами данной матрицы

Определение 3. Определителем второго порядка или детерминантом, соответствующим матрице (1.2) назовем число D такое, что

D=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12} ( 1.3)

Определитель обозначается буквами D или \Delta и записывается

D=\Delta=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}
= a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}.

Следует обратить внимание, что хотя определитель есть число, по определению 3, но до тех пор пока не найдено его значение в виде единственного числа (по формуле 1.2 или еще каким-либо допустимым способом), он записывается в виде таблицы. Тогда можно сказать, например, о перестановке строк или столбцов в этой таблице. В таком случае следует говорить "определитель, соответствующий матрице". Но на практике обычно вторая часть этой фразы для простоты опускается и тогда остается только одно словоопределитель. Для того, чтобы различить что имеется в виду – сам определитель в виде таблицы или его найденное значение, во втором случае используют слово детерминант. Поэтому, если говорят, например, "количество строк в определителе…", то имеют в виду определитель, соответствующий матрице, но еще не вычисленный до единственного числа. А, если говорят детерминант, то имеют в виду, что данный определитель представлен единственным числом, вычисленным либо по формуле, либо еще каким-нибудь допустимым способом.

Пример. Дана система уравнений

\left\{
\begin{aligned}
& 2x+4y=3; \\
& 8x-y=6.
\end{aligned}
\right.
Составить матрицу системы и вычислить определитель.

Решение. Из коэффициентов системы составим матрицу: A=
\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
8 & -1
\end{pmatrix}
и соответствующий ей детерминант \Delta =
\begin{vmatrix}
2 & 4 \\
8 & -1
\end{vmatrix}
.

Выполним вычисления по формуле (2), получим

\Delta =(-1) \times 2-(4 \times 8)=-2-32=-34.

Определение 4. Количество строк (или столбцов) в определителе называется порядком определителя

В примере был вычислен определитель второго порядка.

Определители обладают следующими свойствами.

Свойство 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот.

Покажем это. Пусть дан определитель второго порядка

D=
\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{vmatrix}
=a_1 b_2 - b_1 a_2.
Заменим строки столбцами и снова вычислим получившийся определитель
D^*=
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 \\
b_1 & b_2
\end{vmatrix}
=a_1 b_2 - b_1 a_2.
Сравнивая D с D* можно убедиться, что D = D*.

Определение 5. Операция замены строк столбцами (или наоборот) в определителе называется транспонированием.

Свойство 2. При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет свой знак.

Поверку этого свойства проведем на примере, как и для свойства 1. Пусть дан определитель

D=
\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{vmatrix}
=a_1 b_2 - b_1 a_2.
Поменяем в нем местами столбцы и вычислим получившийся определитель.
D=
\begin{vmatrix}
b_1 & a_1 \\
b_2 & a_2
\end{vmatrix}
=b_1 a_2 - a_1 b_2 = -(a_1 b_2 - b_1 a_2).
Сравнивая результаты, убеждаемся, что определитель, действительно, поменял свой знак. Поменяем теперь местами строки и вновь убедимся в справедливости данного свойства.
D=
\begin{vmatrix}
a_2 & b_2 \\
a_1 & b_1
\end{vmatrix}
=b_1 a_2 - a_1 b_2 = -(a_1 b_2 - b_1 a_2)

Заметим, что все остальные приводимые здесь свойства доказываются аналогично на примерах, очень просто и поэтому далее все свойства приводятся без доказательств. Читатель может в качестве упражнений самостоятельно проверить каждое из этих свойств.

Свойство 3. Если все элементы какого-либо столбца (или строки) матрицы умножить (или разделить) на одно и то же число m, отличное от нуля, то определитель также умножится (разделится) на это число.

D=
\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{vmatrix}
\cdot; \cdots \; \cdots D_1 =
\begin{vmatrix}
ma_1 & b_1 \\
ma_2 & b_2
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
ma_1 & mb_1 \\
a_2 & b_2
\end{vmatrix}
=mD.

Свойство 4. Определитель, у которого элементы одной строки (столбца) пропорциональны другой строке (столбцу), равен нулю.

D=
\begin{vmatrix}
a_1 & ra_1 \\
a_2 & ra_2
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
ra_1 & rb_1
\end{vmatrix}
=0

Свойство 5. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) можно представить как сумму двух слагаемых, то определитель будет равен сумме двух определителей. У первого из слагаемых определителей элементами соответствующей строки (столбца) будет первое слагаемое, а у другого - второе. Остальные элементы этих определителей будут такие же, как у исходного.

\begin{gathered}
D=
\begin{vmatrix}
a_1+a_2 & a_3 \\
b_1+b_2 & b_3
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a_1 & a_3 \\
b_1 & b_3
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a_2 & a_3 \\
b_2 & b_3
\end{vmatrix}
=
(a_1 b_3 - b_1 a_3)+(a_2 b_3 - b_2 a_3) = \\
= (a_1 + a_2)b_3 - (b_1 + b_2)a_3.
\end{gathered}

Сравнивая результат с исходным определителем убеждаемся в справедливости пятого свойства.

Это свойство широко используется для практических вычислений при работе с определителями порядка больше трех.

Свойство 6. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо столбца(строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), предварительно умноженные на какое-либо число.

D=
\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a_1+b_1m & b_1 \\
a_2+b_2m & b_2
\end{vmatrix}.

Определитель - очень удобная математическая форма, которая позволяет быстро находить решение систем линейных уравнений. Большинство задач, связанных с вычислительной математикой, используют математический аппарат теории определителей.

< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >
Светлана Соболева
Светлана Соболева

 

 

Даурен Махамбетсалиев
Даурен Махамбетсалиев
Амина Кочекаева
Амина Кочекаева
Россия, Ставропольский край