Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Интегрирование полиномов и рациональных функций. Некоторые сведения из дифференциальной алгебры. Структурная теорема
Структурная теорема
Для формулировки структурной теоремы нам понадобится ввести некоторые новые понятия.
Элемент назовем регулярным мономом над дифференциальным полем , если трансцендентен над и является либо логарифмом, либо \vad экспонентой над . Последовательность элементов называется последовательностью регулярных мономов если каждый ее элемент является регулярным мономом над , .
В структурной теореме нам нужно различать экспоненты и логарифмы, а именно через обозначим множество индексов , таких, что является экспонентой, а - множество индексов , таких, что является логарифмом. Структурная теорема дает необходимое и достаточное условие трансцендентности очередного элемента последовательности логарифмов и экспонент.
24.2. ТЕОРЕМА. Пусть - поле констант, - последовательность регулярных мономов, - множество индексов , таких, что является экспонентой , а - множество индексов , таких, что является логарифмом .
- Пусть - экспонента над дифференциальным полем , . Если элемент алгебраичен над , то представляется в виде линейной комбинации с рациональными коэффициентами , где - некоторая константа.
- Пусть - логарифм над дифференциальным полем , . Если элемент алгебраичен над , то представляется в виде произведения рациональных степеней где - некоторая константа.
Заметим, что оба выписанных соотношения выполняются в поле , которое является полем рациональных функций над от независимых переменных. Освобождаясь от знаменателей и приравнивая коэффициенты при одинаковых мономах (во 2-м случае нужно предварительно перейти к логарифмической производной), получим систему линейных уравнений относительно , и . Если эта система имеет решение в поле констант, такое, что все , то не является регулярным мономом.
Применение структурной теоремы проиллюстрируем следующими примерами.
24.3. ПРИМЕР. Пусть - поле рациональных чисел, и предположим, что , где и - регулярные мономы над . Используя структурную теорему легко видеть, что ни одна из следующих функций: , , , не является регулярным мономом над .
24.4. ПРИМЕР. Рассмотрим выражение
Будем строить последовательность расширений полей, начинающуюся с поля рациональных чисел , и содержащую последовательно вычисляемые части выписанного выражения.
Положим . Элемент является регулярным мономом, если не существует константы такой, что . Выполнение этого условия очевидно, значит - регулярный моном над .
Положим . Если не является регулярным мономом, то существует константа и рациональное число такие, что . Сравнивая степени в левой и правой части, получаем, что такое соотношение не выполняется ни при каких и , следовательно, - регулярный моном над .
Положим . Структурная теорема дает нам уравнение , которое имеет решение . Заметим, что существование единственного решения у этого уравнения не означает, что единственным образом выражается через и ; действительно, , где константа определена только по модулю . В этом случае структурная теорема может только подсказать, как переформулировать исходную задачу: исходное выражение целесообразно переписать в виде
в котором константа не фигурирует.Положим . Структурная теорема дает нам условие
Сравнивая коэффициенты при одинаковых мономах в левой и правой частях, получаем систему Очевидно, что выписанная система несовместна. Таким образом является регулярным мономом. В поле исходное выражение принимает вид .Заметим, что исходным выражением последовательность элементов определяется неоднозначно. В частности, можно при рассмотрении того же выражения полагать , , и . Можно показать, что в этом случае , , - регулярные мономы, а - нет.
Прежде, чем переходить к подробному изложению алгоритма Риша, рассмотрим еще один