НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 7: Алгоритмы Кронекера. Разложение на множители, свободные от квадратов. Факторизация

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1626 / 46 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00

ISBN: 978-5-9556-0099-4

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 27 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Выделение линейных множителей.

Прежде чем переходить к общим алгоритмам разложения многочленов на неприводимые множители, рассмотрим случай, когда у многочлена имеются линейные множители. Нахождение линейных множителей осуществляется значительно проще, чем в общем случае нахождение неприводимых множителей. В большинстве систем компьютерной алгебры, прежде чем применять общие методы факторизации, у многочлена выделяются линейные множители.

Нахождение линейных множителей основано на теореме Безу, которая утверждает, что если рациональное число m/n , где -целое, - натуральное, НОД(m,n)=1 , является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то делит старший коэффициент этого многочлена, а делит его свободный член. Кроме того, между рациональными корнями многочлена и его линейными множителями существует взаимно однозначное соответствие: m/n является корнем многочлена $f(x)\in \mathbb Z[x]$ тогда и только тогда, когда f(x) делится на nx
- m (предполагается, что и взаимно простые числа).

А20. АЛГОРИТМ (рациональные_корни).

$\begin{equation}\\ \text{Дано:\quad $f(x)\in\mathbb Z[x]$} \\ \text{ Надо:\qquad $M$- стек элементов типа $\mathbb Q$ (рациональные корни $f(x)$)}\\ \text{\qquad $g(x)$- делитель максимальной степени многочлена $(x)$,}\\ \text{\qquad \qquad не имеющий рациональных корней.}\\ \text{ Начало}\\ \text{$M.$ начать работу} \\ \text{$a := f.$ старший коэффициент} \\ \text{$b := f.$ свободный член} \\ \text{$g(x) := f(x)$ }\\ \text{цикл для всех $(p,q)$, где $p\in\mathbb N$, q\in\mathbb Z$, $p|a$, $q|b$, НОД$(p,q)=1$}\\ \text{\qquad $r:= $ остаток от деления $g(x)$ на $px-q$}\\ \text{\qquad \qquad // т. е. $g(x) = (px-q)\cdot h(x) + r$}\\ \text{\qquad если $r=0$, то}\\ \text{\qquad \qquad $M.$ добавить $q/p$}\\ \text{\qquad \qquad $g(x) := h(x)$}\\ \text{\qquad конец если}\\ \text{ конец цикла} \\ \text{ Конец} \end{equation}$

Организация перебора.

15.2. Организация перебора. Простейший случай:

$\begin{equation} \text{цикл для $p$ от $1$ до $a$ цикл для $p$ от $1$ до $a$ таких, что $p|a$}\\ \text{\qquad цикл для $q$ от $1$ до $b$цикл для $q$ от $1$ до $b$ таких, что $q|b\ \&\ НОД(p,q)=1$,}\\ \text{\qquad \qquad цикл для $j=-1;1$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $r:=\text{остаток от деления$g(x)$на }px-jq$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad // т. е. $g(x) = (px-jq)*h(x) + r$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad еслиесли r=0, то}\\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad $M.$добавить $q/p$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad $g(x) := h(x)$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad конец если}\\ \text{\qquad \qquad конец цикла}\\ \text{\qquad конец цикла}\\ \text{конец цикла} \end{equation}$

15.3. Перебор с предварительным разложением старшего коэффициента и свободного члена на простые множители.

Мы предполагаем, что количество простых чисел, на которые делятся или , невелико (не превосходит NDEL ). Эти числа располагаются в массиве del , соответствующие показатели степеней- в pow1 и pow2 . Числа и задаются векторами curr1 и curr2 , которые содержат показатели степеней простых делителей чисел и соответственно.

$\begin{equation} \text{$curr1 := 0$} \\ \text{$p := 0$} \\ \text{$M.$начать работу }\\ \text{конец\_$p$\_перебора$:=$"нет"} \\ \text{цикл пока не конец\_$p$\_перебора}\\ \text{\qquad $q :=1$}\\ \text{\qquad $curr2 := 0$}\\ \text{\qquad конец\_$q$\_перебора$:=$"нет"}\\ \text{\qquad цикл пока не конец\_$q$\_перебора}\\ \text{\qquad \qquad ДЕЛЕНИЕ $(g,p,q,\text{успех})$}\\ \text{\qquad \qquad если успех, то}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $M.$добавить $q/p$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad цикл для $i$ от 1 до $NDEL$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad $pow1_i := pow1_i - curr1_i$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad $pow2_i := pow2_i - curr2_i$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad конец цикла}\\ \text{\qquad \qquad конец если}\\ \text{\qquad \qquad если $q > 0$ то}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $q := -q$}\\ \text{\qquad \qquad иначе $NEXTQ$}\\ \text{\qquad \qquad конец если}\\ \text{\qquad конец цикла}\\ \text{\qquad $NEXTP$}\\ \text{конец цикла} \end{equation}$

А 21. АЛГОРИТМ NEXTP.

$\begin{equation}\\ \text{Начало}\\ \text{конец\_$p$\_перебора$:=$"да"} \\ \text{цикл для $i$ от $1$ до $NDEL$ пока конец\_$p$\_перебора}\\ \text{\qquad если $curr1_i < pow1_i$ то}\\ \text{\qquad \qquad $curr1_i := curr1_i + 1$}\\ \text{\qquad \qquad конец\_$p$\_перебора$ :=$"нет"}\\ \text{\qquad иначе $curr1_i:= 0$}\\ \text{\qquad конец если}\\ \text{конец цикла }\\ \text{$p := 1$} \\ \text{если не конец\_$p$\_перебора, то}\\ \text{\qquad цикл для $i$ от $1$ до $NDEL$}\\ \text{\qquad \qquad $p := p\cdot del_i^{curr1_i}$}\\ \text{\qquad конец цикла}\\ \text{конец если }\\ \text{Конец} \end{equation}$

А 22. АЛГОРИТМ NEXTQ.

$\begin{equation}\\ \text{Начало}\\ \text{конец\_$q$\_перебора$:=$"да"} \\ \text{цикл для $i$ от $1$ до $NDEL$ пока конец\_$q$\_перебора}\\ \text{\qquad если $(curr2_i < pow2_i) \& (pow1_i=0)$ то}\\ \text{\qquad \qquad $curr2_i:= curr2_i + 1$}\\ \text{\qquad \qquad конец\_$q$\_перебора$:=$"нет"}\\ \text{\qquad иначе $curr2_i := 0$}\\ \text{\qquad конец если}\\ \text{конец цикла }\\ \text{$q := 1$ }\\ \text{если не конец\_$q$\_перебора, то}\\ \text{\qquad цикл для $i$ от $1$ до $NDEL$}\\ \text{\qquad \qquad $q := q\cdot del_i^{curr2_i}$}\\ \text{\qquad конец цикла}\\ \text{конец если}\\ \text{Конец} \end{equation}$

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Алгоритмы Кронекера. Разложение на множители, свободные от квадратов. Факторизация

Выделение линейных множителей.

Организация перебора.

15.3. Перебор с предварительным разложением старшего коэффициента и свободного члена на простые множители.

Вопросы и ответы