НОУ ИНТУИТ | Структуры данных и модели вычислений. Лекция 11: Машины Тьюринга

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1800 / 484 | Оценка: 4.25 / 4.12 | Длительность: 17:09:00

ISBN: 978-5-9556-0066-6

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 19 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Частично-рекурсивные функции

Пытаясь выяснить содержание интуитивного понятия вычислимой функции, А.Черч в 1936 году рассмотрел класс так называемых рекурсивных функций, а Клини расширил его до класса частично-рекурсивных функций. В то же время впервые была высказана естественно-научная гипотеза о том, что интуитивное понятие вычислимой частичной функции совпадает с понятием частично рекурсивной функции. Эту гипотезу называют тезисом Черча. Здесь мы напомним понятие частично-рекурсивной функции и покажем, что любая частично-рекурсивная функция вычислима по Тьюрингу. Набор аргументов $x_1, x_2\dts x_m$ обозначим через ${\bs x}$ .

Функция $f({\bs x})$ называется суперпозицией -местных функций g_1 , $g_2\dts g_m$ и -местной функции , если $\eq*{ f({\bs x}) = h (g_1({\bs x}), g_2({\bs x})\dts g_m({\bs x})). }$

Говорят, что (n + 1) -местная функция $f({\bs x},y)$ получена примитивной рекурсией из (n + 2) -местной функции и -местной функции , если

$\eq*{ f({\bs x},y)=\left\{\begin{aligned} & h({\bs x}) && \t{при}\ y=0; \\ & g(f({\bs x},y-1),{\bs x},y-1), && \t{при}\ y>0. \end{aligned} \right. }$

Говорят, что -местная функция $f({\bs x})$ получена минимизацией из {(n + 1)} -местной функции , если

$\eqa*{ f({\bs x})=\left\{\begin{aligned} & k,\ \t{если}\ g(k,{\bs x}) = 0\ \t{и при всех}\ k' < k\ g(k',\bs x)\ \t{определена}\\ & \qq \t{и не равна}\ 0,\\ & \t{не определена в противном случае} \end{aligned}\right. }$

Часто обозначают $f({\bs x})$ через $\mu y(g(y, {\bs x}) = 0)$ .

Заметим, что суперпозиция и примитивная рекурсия, примененные к всюду определенным функциям, дают всюду определенные функции, тогда как минимизация, примененная к всюду определенной функции, может дать частичную функцию.

Числовая функция $f\colon N^n \to N$ называется частично рекурсивной, если она является одной из базисных функций:

а) O(y) = 0 (при всех $y \in N$ ),

б) S(y) = y + 1 (при всех $y \in N$ ),

в) $I_m^n (x_1, x_2\dts x_n) = x_m(n = 1, 2,\ldots;\ 1 \le m \le n)$

или получена из них с помощью конечного числа применений суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации.

Теорема. Любая частично-рекурсивная функция вычислима по Тьюрингу.

Доказательство теоремы заключено в следующих четырех леммах, с использованием унарного кодирования чисел.

Лемма 1 (о базисных функциях). Базисные функции O(y) , S(y) , $I_m^n(x_1, x_2 \dts x_n)$ вычислимы по Тьюрингу.

Действительно, функцию S(y) вычисляет программа [K_m, 1,
r] , функцию O(y) — программа [r] , функцию $I_m^n(x_1, x_2\dts x_n)$ — программа K_m .

Лемма 2 (о суперпозиции). Если функции $g_1 ({\bs x}), g_2 ({\bs x})\dts$ $g_m({\bs x})$ и $h(y_1, y_2\dts y_m)$ вычислимы, соответственно, программами $G_1, G_2,\ldots$ , G_m и , то функцию

$\eq*{ f({\bs x})=h(g_1({\bs x}), g_2 ({\bs x})\dts g_m ({\bs x})) }$

вычисляет программа:

$\eq*{ [G_m, (Z_{n + 1})^n, G_{{m}-1}, (Z_{n + 1})^n\dts G_1, (Z_{n + 1})^n, (Z_{n + m})^{n}, H, (\Lambda_2)^m]. }$

Доказательство. Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, достаточно выписать псевдослова, которые появляются на ленте после выполнения отдельных частей программы. Сначала на ленте находится псевдослово

$\eq*{ \ast x_n \ast x_{{n}-1} \ast \ldots \ast x_1 \ovs{\ast}{\downarrow}, }$

после выполнения G_m на ленте будет

$\eq*{ \ast x_n \ast x_{{n}-1} \ast \ldots \ast x_1 \ast g_m \ovs{\ast}{\downarrow}, }$

после $[G_m, (Z_{n + 1})^n]$ —

$\eq*{ \ast g_m\ast x_n \ast x_{{n}-1} \ast \ldots \ast x_1 \ovs{\ast}{\downarrow}, }$

после $[G_m, (Z_{n + 1})^n, G_{{m}-1}]$ —

$\eq*{ \ast g_m \ast x_n \ast x_{n-1} \ast \ldots \ast x_1 \ast g_{m-1}\ovs{\ast}{\downarrow}, }$

и т.д.

После $[G_m, (Z_{n + 1})^n, G_{{m}-1}, (Z_{n + 1})^n\dts G_1, (Z_{n + 1})^n]$ —

$\eq*{ \ast g_m \ast g_{{m}-1} \ast \ldots \ast g_1 \ast x_n \ast x_{{n}-1}\ast \ldots \ast x_1 \ovs{\ast}{\downarrow}, }$

после $[G_m, (Z_{n + 1})^n, G_{m-1}, (Z_{n+1})^n \dts G_1, (Z_{n+1})^n, (Z_{n+m})^n, H]$ —

$\eq*{ \ast x_n \ast x_{n-1}\ast \ldots \ast x_1 \ast g_m \ast g_{m-1} \ast \ldots \ast g_1 \ast f \ovs{\ast}{\downarrow}, }$

и, наконец, после выполнения всей программы получим

$\eq*{ \ast x_n \ast x_{n-1}\ast \ldots \ast x_1 \ast f \ovs{\ast}{\downarrow}. }$

Лемма 3 (о примитивной рекурсии). Если функции (x_1 , $x_2 \dts x_n)$ и $g (y_1, y_2\dts y_{n+2})$ вычислимы соответственно программами и , то функция $f(x_1, x_2\dts x_n, y)$ , полученная по схеме примитивной рекурсии, вычислима программой

$\eq*{ [H, L^{n+1}, l, (\t{пока}\ 1)[\ast, R_{n+2}, G, \Lambda_2, L_{n+2},1, l], R^{n+2}]. }$

Доказательство. Представим программу, предлагаемую для вычисления функции $f(x_1, x_2\dts x_n, y)$ , блок-схемой, изображенной на рисунке.

Пунктирными стрелками показаны контрольные дуги, для которых будут сформированы соответствующие индуктивные утверждения P_1, P_2, P_3 .

Утверждение P_1 соответствует входной дуге и поэтому должно описывать содержимое ленты в начальный момент. Утверждение P_3 соответствует выходной дуге и должно описывать содержимое ленты в момент завершения работы программы. Утверждение P_2 относится к дуге, разрезающей единственный имеющейся в блок-схеме цикл, поэтому должно быть сформулировано так, чтобы ему удовлетворяло содержимое ленты каждый раз, когда в программе реализуется переход по рассматриваемой дуге.

Напомним, что основное требование, предъявляемое к утверждениям P_1,
P_2, P_3 , заключается в том, чтобы была возможность доказательства индуктивных шагов:

$\eqa*{ & P_1 \to P_2,\ \t{если реализуется путь}\ [H; L^{n+1}; l; \ast; R^{n+2}; G];\\ & P_1 \to P_3,\ \t{если реализуется путь}\ [H; L_{n+1}; l; R^{n+2}];\\ & P_2 \to P_2,\ \t{если реализуется путь}\ [\Lambda_2; L^{n+2}; 1; l; \ast; R^{n+2}; G];\\ & P_2 \to P_3,\ \t{если реализуется путь}\ [\Lambda_2; L_{n+2}; 1; l; R_{n+2}]. }$

Пусть $x_1, x_2\dts x_n$ , — исходные значения аргументов из множества , тогда требуемые утверждения можно сформулировать следующим образом:

P_1 — содержимое ленты равно

$\eq*{ \ast 1^{y}\ast 1^{x_{n}} \ast 1^{x_{n-1}} \ast \ldots \ast 1^{x_{1}} \ovs{\ast}{\downarrow}, }$

P_2 — существует $y_1 \ge 1, y_2, g_1, g_2 \ge 0$ такие, что содержимое ленты равно

$\begin{gather*} \ast 1^{y_{2}} \ast 1^{y_{2}} \ast 1^{x_{n}} \ast 1^{x_{n-1}} \ast \ldots \ast 1^{x_{1}} \, 1^{g_{1}} \, 1^{g_{2}}\ \t{и}\\ y_1 + y_2 + 1 = y,\\ g_1 = g(f(x_1, x_2\dts x_n, y_1 - 1), x_1, x_2 \dts x_n, y_1 - 1),\\ g_2 = g(f(x_1, x_2\dts x_n, y_1), x_1, x_2\dts x_n, y_1), \end{gather*}$

P_3 — содержимое ленты равно

$\eq*{ \ast 1^{y} \ast 1^{x_{n}} \ast 1^{x_{n-1}} \ast \ldots \ast 1^{x_{1}} \ast 1^{z} \ovs{\ast}{\downarrow}\ \t{и}\ z = f(x_1, x_2\dts x_n, y). }$

Доказательство индуктивных шагов легко получить, выписывая содержимое ленты после каждого оператора в соответствующем пути. Читателю предоставляется возможность проделать это самостоятельно и убедиться в правильности программы, предлагаемой в формулировке леммы 3. Не забудьте доказать завершаемость исследуемой программы.

Лемма 4 (о минимизации). Если функция $g(y, x_1, x_2\dts x_n)$ вычислима программой , то функция $f(x_1, x_2\dts x_n)$ , полученная из нее по схеме минимизации, вычисляется программой

$\eq*{ [r, G, l, (\t{пока}\ 1)[r, \Lambda_1, 1, r, G, l]. }$

Доказательство. Представим программу, предлагаемую для вычисления функции $f(x_1, x_2\dts x_n)$ , блок-схемой c указанными контрольными точками P_1 , P_2 , P_3 .

Пусть $x_1, x_2\dts x_n$ — исходные значения аргументов, тогда для доказательства частичной корректности предлагаемой программы можно воспользоваться следующими индуктивными утверждениями:

P_1 — содержимое ленты равно

$\eq*{ \ast 1^{x_{n}} \ast 1^{x_{n-1}} \ast \ldots \ast 1^{x_{1}} \ovs{\ast}{\downarrow}, }$

P_2 — существуют $k, z \ge 0$ , такие, что содержимое ленты равно

$\eq*{ \ast 1^{x_{n}} \ast 1^{x_{n-1}} \ast \ldots \ast 1^{x_{1}} \ast 1^{k} \ast 1^{z} \ovs{\ast}{\downarrow},\ \t{где}\ z = g (k, x_1, x_2\dts x_n), }$

P_3 — содержимое ленты равно

$\eq*{ \ast 1^{x_{n}} \ast 1^{x_{n-1}} \ast \ldots \ast 1^{x_{1}} \ast 1^{z} \ovs{\ast}{\downarrow},\ \t{где}\ z = f(x_1, x_2\dts x_n). }$

Требуется доказать следующие индуктивные шаги.

$\eqa*{ & P_1 \to P_2,\ \t{если реализуется путь}\ [r, G];\\ & P_2 \to P_2,\ \t{если реализуется путь}\ [l; r; \Lambda_1; 1; r; G];\\ & P_2 \to P_3,\ \t{если реализуется путь}\ [l],\ \t{и головка остановится на}\\ & \qq \t{символе}\ \ast. }$

Доказательство индуктивных утверждений и завершаемости программы мы оставляем читателю в качестве упражнений.

Заметим, что в доказательствах лемм 3 и 4 при рисовании блок-схемы мы несущественно отступили от текстов программ, данных в их формулировках, а при доказательстве леммы 2 не выписывали индуктивных утверждений, так как в представлении программы блок-схемой нет циклов. Обращаем внимание на то, что правильность блоков, из которых составлены программы, мы не подвергаем сомнению.

Дальше >>

Авторизоваться

Структуры данных и модели вычислений

Машины Тьюринга

Частично-рекурсивные функции

Вопросы и ответы