Деление чисел с фиксированной запятой в прямом и дополнительном кодах

Деление чисел, заданных в дополнительном коде

Для чисел с фиксированной запятой, заданных в дополнительном коде, алгоритмы деления во многом совпадают с алгоритмами деления для чисел, заданных в прямом коде. Назовем лишь имеющиеся отличия:

• получаемый на начальном шаге деления нулевой остаток α₀ даёт возможность не только определить возможность продолжения деления для данного формата чисел, но и в случае удачного исхода определяет знак результата;
• получаемые при делении остатки позволяют определить очередную цифру частного непосредственно в дополнительном коде;
• нулевое значение получаемого на некотором шаге остатка не всегда служит основанием для прекращения деления;
• получаемые цифры результата не могут однозначно гарантировать, что результат последовательно получается с недостатком (речь идет об его абсолютной величине).

Деление со сдвигом и автоматическим восстановлением остатка

Как отмечалось выше, при любом алгоритме деления получение очередного остатка связано со сложение двух чисел разных знаков. Так как при делении чисел, заданных в дополнительном коде, знак результата получается автоматически в процессе деления, то основные формулы (9.1) и (9.2) несколько изменяются по сравнению с делением чисел, заданных в прямом коде:

Если Зн α₀ = Зн X_дк, то |X| ≥ |Y|. Следовательно, для чисел с фиксированной запятой Z = ∞, и дальнейшее деление не имеет смысла.

Если Зн α₀ ≠ Зн X_дк, то очередные остатки при делении получаем по следующей рекуррентной формуле

( 9.5)

Очередные разряды мантиссы результата, начиная с z₀, вычисляются по формуле

( 9.6)

Пример 9.5

Выполнить деление двух чисел с фиксированной запятой, заданных в дополнительном коде, по алгоритму деления со сдвигом и автоматическим восстановлением остатка: X_дк = 1.0111; Y_дк = 1.0110.

Решение

Результат

Пример 9.6

Выполнить деление двух чисел с фиксированной запятой, заданных в дополнительном коде, по алгоритму деления со сдвигом и автоматическим восстановлением остатка: X_дк = 1.0111; Y_дк = 0.0110.

Решение

Деление со сдвигом делителя и автоматическим восстановлением остатка

Данный алгоритм деления сочетает в себе черты алгоритма деления со сдвигом и автоматическим восстановлением остатка для чисел, заданных в дополнительном коде, и алгоритма деления со сдвигом делителя для чисел, заданных в прямом коде.

Первый шаг проводится по формуле

На этом шаге, определяется, превышает ли модуль делимого модуль делителя и если нет, то определяется знак частного z₀, на основании следующего выражения:

( 9.10)

Очередной остаток определяется следующим образом:

( 9.11)

По соотношению знака очередного остатка и знака [Y]_дк определяется очередная цифра частного согласно (9.10).

При построении арифметического устройства, использующего данный алгоритм деления, следует иметь в виду, что если мы не ориентируемся на укороченную разрядную сетку и связанные с этим механизмы коррекции результата после каждого шага вычислений, то из основных регистров необходимо иметь три 2n-разрядных регистров (для хранения делимого, делителя и остатков). Причем в число этих разрядов входит и знаковый разряд. Регистры делимого и делителя при первоначальной загрузке дополняются справа нулями. Кроме функции параллельной загрузки, регистр делителя должен иметь функцию сдвига вправо на один разряд.

Пример 9.7

Выполнить деление двух чисел с фиксированной запятой, заданных в дополнительном коде, по алгоритму деления со сдвигом и автоматическим восстановлением остатка: X_дк = 1.1110; Y_дк = 0.0011.

Решение

Результат

Пример 9.8

Выполнить деление двух чисел с фиксированной запятой, заданных в дополнительном коде, по алгоритму деления со сдвигом и автоматическим восстановлением остатка: X_дк = 1.1100; Y_дк = 1.1000.

Решение

На некотором шаге деления получили остаток, равный нулю. Стоит ли продолжать деление? При использовании алгоритмов деления чисел, заданных в прямом коде, деление в этом случае прекращалось, и остальные цифры результата записывались равными нулю. Но в этом случае мы получим результат

который явно не соответствует реальному.

Продолжим деление

Получаем окончательный результат:

то есть число, постепенно приближающееся к 2^-1, что и следовало ожидать из анализа значений делимого и делителя.

Рассмотрим аналогичную ситуацию для случая отрицательного результата.

Пример 9.9

Выполнить деление двух чисел с фиксированной запятой, заданных в дополнительном коде, по алгоритму деления со сдвигом и автоматическим восстановлением остатка: X_дк = 0.0010; Y_дк = 1.1000.

Решение

Получили ситуацию, аналогичную предыдущему примеру – нулевой остаток. Дополнение получившихся разрядов результата (1.10) нулями приведет к тому, что модуль результата будет равен 2^-1 (0.1000₂), в то время как он должен получиться равным 2^-2 (0.0100₂), так как |X| = 0.0010 и |Y| = 0.1000. Поэтому деление в данном случае также необходимо продолжить до получения необходимого количества цифр частного. Не проводя соответствующих выкладок (они аналогичны предыдущим примерам), запишем следующий результат:

Таким образом, данный алгоритм деления предполагает, что при получении нулевого остатка на каком-либо шаге деление должно быть продолжено до получения необходимого количества цифр частного. В противном случае возможно существенное искажение результата.

Краткие итоги

В лекции представлены различные алгоритмы деления чисел с фиксированной запятой в прямом и дополнительном кодах. Рассмотрены схемотехнические особенности реализации каждого из алгоритмов деления. На примерах показаны некоторые особые случаи, возникающие в процессе деления.

Вопросы и задания

1. Назовите основные способы деления чисел с фиксированной запятой в прямом и дополнительном кодах.
2. Как связано количество разрядов частного с архитектурой конкретной ЭВМ?
3. Как связан результат, получаемый при делении чисел, заданных в прямом коде, с истинным результатом: всегда превышает его, всегда меньше него, нельзя сказать однозначно?
4. Какой из алгоритмов деления чисел, заданных в прямом коде, более экономичен с точки зрения используемого оборудования?
5. Как формируется очередная цифра частного при получении нулевого остатка при делении чисел, заданных в прямом коде? Как в этом случае продолжается деление? Подтвердите ваше утверждение соответствующим примером.
6. Какие операции сдвига можно совместить с другими операциями в алгоритме деления со сдвигом и автоматическим восстановлением остатка для чисел, заданных в прямом коде? Как такое совмещение отразится на времени выполнения операции деления и объеме используемого оборудования?
7. Какой из алгоритмов деления чисел, заданных в прямом коде, позволяет быстрее получить конечный результат?
8. Назовите схемотехнические элементы, необходимые для реализации блока деления чисел, заданных в дополнительном коде, по алгоритму деления со сдвигом и автоматическим восстановлением остатка и по алгоритму со сдвигом остатка и его автоматическим восстановлением.
9. Какой из алгоритмов более быстродействующий и требует меньше аппаратных затрат: алгоритм деления чисел, заданных в прямом коде или заданных в дополнительном коде?