Россия |
Лекция 5: Численное решение уравнений в частных производных гиперболического типа с большими градиентами решений
5.4. Метод коррекции потоков Бориса - Бука
Метод коррекции потоков предложен в [15.12], как схема "предиктор - корректор". На этапе "предиктор" погрешность метода вносит в численное решение поток численной диффузии (вязкости), на этапе "корректор" водятся потоки искусственной антидиффузии, уменьшающие их. Пусть — численное решение, полученное после предиктора. Корректор представляется в виде
где определены антидиффузионные потоки , через границы , ( — коэффициент антидиффузии ).
В [15.13] предложен общий вид корректора:
причем коэффициенты антидиффузии вычисляются с помощью подхода, предложенного в [15.6], [15.10].
5.5. TVD - схемы
Идею схем TVD (Total Variation Diminition), т.е. схем с уменьшением полной вариации, представим на примере схемы Лакса - Вендроффа [15.14]:
Эта схема немонотонная, но в отсутствии последнего слагаемого она была бы монотонной. Этот факт можно проинтерпретировать следующим образом: антидиффузионные потоки в схеме Лакса - Вендроффа слишком велики и приводят к появлению осцилляций. Следовательно, эти потоки необходимо ограничить, например, как
Поток ограничивается некой функцией , называемой ограничителем или лимитером. Параметр rm вычисляется по формуле
его можно назвать показателем гладкости решения.
Для гладких решений , при больших же градиентах .
Функция выбирается так, чтобы схема относилась к классу TVD, т.е. чтобы уменьшалась полная вариация на следующем слое по времени, . Выражение для полной вариации есть . Это условие более слабое, чем условие монотонности разностной схемы.
Для того чтобы полная вариация уменьшалась, достаточно выбрать лимитер следующим образом:
причем для обеспечения второго порядка аппроксимации необходимо, чтобы .
Другой ограничитель имеет вид
Заметим, что вместо свободных параметров в этой схеме вводится функция - ограничитель, а сама схема является одношаговой. Иногда в расчетах полагают
где малая величина играет роль шумового фильтра.
Вместо условия уменьшения полной вариации разностной схемы можно ввести более слабое ограничивающее условие , причем (схемы TVB).
В [15.15], [15.16] разностную схему для численного решения уравнения переноса предложено представить в виде
где или
В соответствии с [15.16], эта схема будет монотонной, если выражение в скобках неотрицательно. Монотонность схемы может быть достигнута выбором коэффициента , как функции от . Как и ранее,
Выбор весового множителя осуществим в соответствии с правиломЗдесь — константы, если получаем схему второго порядка аппроксимации, причем, при c = 1/3 и b = 2/3 — третьего порядка везде, кроме точек разрыва функций.
Отметим, что, по - видимому, основные идеи, использованные при построении TVD и ENO схем, впервые были описаны В.П.Колганом в [15.17] и Р.П.Федоренко [15.5]. Схема с различными шаблонами, которую можно рассматривать как развитие идеи гибридных схем Р.П.Федоренко [15.5], предложенная Колганом, имеет вид
Здесь использованы обозначения , , , .
Соответствующие шаблоны показаны на рисунках ниже.
Рассмотрим способ конструирования TVD - схемы. Произвольную четырехточечную схему (три точки на нижнем временном слое) можно представить в виде , где введены потоки . Положим, что коэффициенты схемы удовлетворяют условиям , , для всех m. Тогда приведенная разностная схема является TVD - схемой. Покажем, что это так. Для этого вычислим полную вариацию
Запишем разностную схему в операторном виде , где . Покажем, что , или . Оценим величину , учитывая, что . Тогда
откуда следует