Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

Лекция 1: Исследование разностных схем для эволюционных уравнений на устойчивость и сходимость

Лекция 1: 1234567891011 || Лекция 2 >

1.3. Элементы теории устойчивости разностных схем

Канонической формой двухслойной линейной разностной схемы называется ее запись в виде

$ 
{\mathbf{B} \frac{\mathbf{u}_{n + 1} - \mathbf{u}_n}{\tau} + \mathbf{Au}_n = 
\mathbf{f}_n , }  $ ( 1.1)

\mathbf{B} и \mathbf{A}операторы, действующие в \Omega _{x}. Рассматриваем случай , когда для этих операторов выполнено условие (\mathbf{Au}, \mathbf{u}) > \mu(\mathbf{u}, \mathbf{u}), где \mu — положительное число, \mathbf{u} — произвольный ненулевой элемент пространства сеточных функций. Тогда оператор \mathbf{A} называется положительным, записывается \mathbf{A} > 0. Требуем и \mathbf{B} > 0. Пока не оговорено иное, рассматриваем случаи самосопряженных операторов.

Если \mathbf{B} = \mathbf{E}, то разностная схема называется явной. Рассмотрим для примера разностную схему с весами для одномерного уравнения теплопроводности

$ \frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} = \xi \mathbf{\Lambda}}_{xx} u_m^{n + 1}  + (1 - \xi ){\mathbf{\Lambda}}_{xx}u_m^{n}, \xi \in \left[{0, 1}\right],   $

где

\begin{gather*}
{\mathbf{\Lambda}}_{xx} u_m^{n + 1} = \frac{u_{m - 1}^{n + 1} - 2u_m^{n + 1} + u_{m + 1}^{n + 1}}{h^2}, {\mathbf{\Lambda}}_{xx} u_m^{n} = \frac{u_{m - 1}^n - 2u_m^n + u_{m + 1}^n}{h^2}, \\ 
n = 0, \ldots , N - 1 , \quad m = 0, \ldots , M - 1.
 \end{gather*}
  $

В случае \xi  = 0, 5 эта схема называется схемой Кранка - Никольсон. Для записи схемы с весами в каноническом виде положим

{\mathbf{Au}}_n = - {\mathbf{\Lambda}}_{xx} u_m^{n}, {\mathbf{Au}}_{n + 1} = 
 - {\mathbf{\Lambda}}_{xx} u_m^{n + 1},

и, обозначив $ \mathbf{u}_n = (u_1^{n}, u_2^{n}, \ldots , u_{M - 1}^{n})^T , $ получим форму записи

$  \mathbf{B} \frac{\mathbf{u}_{n + 1} - \mathbf{u}_n}{\tau} + \mathbf{Au}_n = 0,  $
где {\mathbf{B}} = 
{\mathbf{E}} +{\tau}\xi {\mathbf{A}}.

В случае неравномерной сетки каноническая форма записи схемы будет

$ 
{\mathbf{B} \frac{{{\mathbf{u}}_{n + 1} - {\mathbf{u}}_n }}{{\tau_{n + 1}}} + \mathbf{A}
{\mathbf{u}}_n = {\mathbf{f}}_n , \quad {\mathbf{f}}_n = (f_1^{n}, \ldots , f_{M - 1}^{n} )^T.}  $ ( 1.2)

Иногда схему с весами записывают в виде

$ \frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} = {\mathbf{\Lambda}}_{xx}u^{(\xi )}.  $

Заметим, что канонический вид разностной схемы аналогичен итерационному методу решения СЛАУ \mathbf{Au} = \mathbf{f}. Эта аналогия не является формальной — переход от СЛАУ к итерационному методу (1.1) может быть интерпретирован , как замена стационарного уравнения \mathbf{Au} = \mathbf{f} нестационарным. Решение последнего при стационарных граничных условиях стремится к решению стационарного при стремлении времени к бесконечности.

Отличие состоит в том, что в последнем случае операторы \mathbf{B}, 
\mathbf{A} и функция \mathbf{f} не зависят от n и итерационный параметр \tau не обязательно должен стремиться к нулю.

Введем величину ({\mathbf{Au}}, {\mathbf{u}}) — энергию оператора \mathbf{A}, а также энергетическую норму вектора:

\|{\mathbf{u}}\|_{\mathbf{A}} = ({\mathbf{Au}}, {\mathbf{u}})^{1/2}.

Говорят, что эта норма порождается оператором \mathbf{A}.

Рассматривается задача Коши для оператора — однородного разностного уравнения (1.1); {\mathbf{u}}^0 = {\varphi}.

Дадим два определения.

Определение 6. Разностная схема (1.1) устойчива по начальным данным, если для решения (1.1) выполняется оценка:

{\|{\mathbf{u}}^{n + 1}\| \le M_1  \| {\varphi}\| ,  {\forall}t^{n} \in {\omega}^{t} \mbox{ - узлы сетки по } t, } ( 1.3)

причем константа M1 не зависит от сеточных параметров.

Будем рассматривать также неоднородное уравнение, соответствующее (1.1):

$ 
{{\mathbf{B}} \frac{{{\mathbf{u}}^{n + 1} - {\mathbf{u}}^{n}}}{\tau} = - {\mathbf{Au}}^{n} + {\mathbf{f}}(x_m , t^{n}).}  $ ( 1.4)

Определение7. Говорят, что разностная схема (1.4) устойчива по правой части, если для решения (1.4) в любой момент времени выполняется условие

{\|{\mathbf{u}}^{n + 1}\| \le M_2 \|{\mathbf{f}}\| , } ( 1.5)

причем константа M2 не зависит от сеточных параметров.

Определение 8. Разностная схема (1.1) равномерно устойчива по начальным данным в энергетической норме, порождаемой некоторым оператором {\mathbf{R}} = {\mathbf{R}}^*  > 0, если {\exists}{\rho} > 0: \quad {\forall}t^{n} выполнено:

\|\mathbf{u}_{n + 1}\|_{\mathbf{R}} \le {\rho}\|\mathbf{u}_n \|_{\mathbf{R}}

и при этом {\rho}^{n} \le M_1 , \rho и M1 не зависят от сеточных параметров.

Обычно рассматриваются случаи \rho  = M_{1} = 1 или \rho  = 1 + c\tau, M1 = ecT.

Если разностную схему в каноничной форме представить в виде

{\mathbf{u}}_{n + 1} = {\mathbf{R}}_{\tau}{\mathbf{u}}_n +{\tau}{\mathbf{B}}^{- 1}{\mathbf{f}}_n , n = 0, \ldots , N - 1 , {\mathbf{R}}_{\tau} = {\mathbf{R}}_{\tau}(t_n ),

то оператор {\mathbf{R}}_{\tau} = {\mathbf{E}} -{\tau}{\mathbf{B}}^{- 1}
{\mathbf{A}} называется оператором послойного перехода разностной схемы (1.1). Нетрудно заметить, что условие равномерной устойчивости по начальным данным эквивалентно ограничению нормы оператора {\mathbf{R}}_{\tau}: \left\| {{\mathbf{R}}_{\tau}}\right\| \le  {\rho}, а в силу условия \rho^{n} \le C и ограниченности норм степеней оператора \mathbf{R}: \left\| {{\mathbf{R}}_{\tau}^{n}}\right\| \le C.

Для оценки нормы оператора {\mathbf{R}}_{\tau}^{n} можно воспользоваться собственными значениями этого оператора — корнями уравнения \det \| {{\mathbf{R}}_{\tau} - {\lambda}{\mathbf{E}}}\| = 0.

Если \lambda — собственное значение, а \omega — соответствующий ему собственный вектор, то {\mathbf{R}}_{\tau}{{\omega }} = {\lambda}{{\omega }}. Поэтому {\mathbf{R}}^{n}_{\tau}{\omega} = \lambda^{n}{{\omega }}, откуда \left\| {{\mathbf{R}}_{\tau}^{n}}\right\| \ge \left| {\lambda}\right|^{n}, так как \left\| {{\mathbf{R}}_{\tau}^{n}{{\omega }}}\right\| = \left| {\lambda}\right|^{n} \left\| {{\omega }}\right\| \le \left\|{{\mathbf{R}}_{\tau}^{n}}\right\| \left\|{{\omega }}\right\|.

Последнее неравенство должно выполняться при любом n. Оно невыполнимо, если | \lambda  |^{n} с увеличением n будет неограниченно расти, так как \left\| {{\mathbf{R}}_{\tau}^{n}}\right\| \le C. Этого не произойдет, если на \lambda будет наложено условие \left| {\lambda}\right| \le 1 + c{\tau}, константа C не зависит от сеточных параметров , c = O(1),{\tau}\ll 1. Последнее условие называется необходимым спектральным признаком устойчивости (признак фон Неймана).

Рассмотрим разностную задачу Коши для линейного уравнения переноса

{\mathbf{L}}_{\tau} u_{\tau} = F_{\tau},

где

\begin{gather*} 
\mathbf{L}_{\tau}u_{\tau} = \left\{ \begin{array}{l}
{\frac{u_m^{n + 1} - u_{m }^{n}}{\tau} -  \frac{u_{m + 1}^{n} - u_m^{n}}{h}, }{n = 0, \ldots , N - 1 , }{m = 0, \ldots , M - 1 , } \\ 
{u^0_m , }{m = 0, \ldots , M - 1 , } \\ 
\end{array} \right. \\ 
F_{\tau} = \left\{ \begin{array}{l}
{f_n^{m}}, {n = 0, \ldots , N , }{m = 0, \ldots , M - 1 , } \\ 
{\varphi_m , }{n = 0, }{m = 0, \ldots , M , } \\ 
\end{array} \right.
 \end{gather*}

Условие ее устойчивости записывается в виде неравенства

\|u_{\tau}\| \le C \|F_{\tau}\|.

Для однородного уравнения переноса это условие принимает вид

\max\limits_m \left| {u_m^{n}}\right| \le C \max\limits_m \left| {u_m^0 }
\right|.

Последнее неравенство означает устойчивость разностной схемы по начальным данным. Оно должно выполняться, в частности, в случае, если u_m^0 = \varphi_n является произвольной гармоникой при представлении начальных условий в виде ряда Фурье (важно лишь знать, будет ли эта гармоника неограниченно расти по времени). Возьмем в качестве начального условия произвольную гармонику u_m^0 = e^{i {\alpha}m}, где \alpha — вещественный параметр.

Решение однородной разностной задачи в этом случае ищется с помощью метода разделения переменных. На каждом временном слое решение разностной задачи ищется как произведение u_m^{n} = {\lambda}^{n} e^{i {\alpha}m}.

Спектр оператора послойного перехода \lambda(\alpha) легко ищется подстановкой в разностное уравнение. Например, для однородного уравнения переноса с постоянными коэффициентами после преобразований u_m^{n + 1} = (1 - {\sigma})u_m^{n} +  {\sigma}u_{m + 1}^{n}, где \sigma  = \tau /h = const — безразмерный параметр — число Куранта (в числитель дроби входит скорость переноса, которая в рассматриваемой задаче равна единице). Для спектра оператора перехода имеем {\lambda}({\alpha}) = (1 - {\sigma}) + {\sigma}e^{i {\alpha}}.

Для решения вида u_m^{n} = {\lambda}^{n} e^{i {\alpha}m} справедливо \left\| {u_m^{n}}\right\| = \left\| {{\lambda}^{n}e^{i {\alpha}m}}\right\| = \left\| {{\lambda}^{n} \cdot u_m^0 }\right\| \le \left| {{\lambda}^{n}}\right| \cdot \left\| {u_m^0 }\right\| , или \max\limits_m \left| {u_m^{n}}\right| = \left| {{\lambda}^{n}}\right| \cdot \max\limits_m \left| {u_m^0 }\right| , поэтому для выполнения условия устойчивости \max\limits_m \left| {u_m^{n}}\right| \le C \cdot \max\limits_m \left| {u_m^0 }\right| необходимо выполнение неравенства | \lambda(\alpha)|^{n} \le 1 + C \tau.

Константа в правой части последнего неравенства не зависит от сеточных параметров.

Спектральным признаком это условие называется потому, что каждая гармоника e^{i {\alpha}m} является собственной функцией оператора послойного перехода u_m^{n + 1} = {\mathbf{R}}_{\tau} u_m^{n}. В частности, для рассмотренного выше примера с уравнением переноса {\mathbf{R}}_{\tau} 
u_m^{n} = (1 - {\sigma})u_m^{n} + {\sigma}u_{m + 1}^{n}.

Множество точек {\lambda}(\alpha) на комплексной плоскости состоит из собственных значений оператора перехода — спектр оператора. При этом считаем {\alpha}\in [0, 2 \pi ]. Сформулируем теперь спектральный признак устойчивости в этих терминах. Спектр оператора перехода с n на n + 1 временной слой должен лежать в круге радиуса 1 + C\tau на комплексной плоскости.

В приведенном примере спектр оператора не зависит явно от \tau поэтому условие устойчивости может быть записано в виде \left| {{\lambda}({\alpha})}\right| \le 1.

Такое условие иногда называется условием строгой устойчивости. В [11.6] показано, что строго устойчивые схемы можно построить лишь для таких дифференциальных задач , для которых справедлив принцип максимума, т.е. максимальное и минимальное значения решение дифференциальной задачи принимает на границе расчетной области.

Вернемся к модельному уравнению переноса. В данном случае спектр представляет собой окружность с центром в точке (1 - \sigma ) и радиусом \sigma на комплексной плоскости. При \sigma  < 1 эта окружность лежит внутри единичного круга, касаясь его в точке {\lambda} = 
1 ({\alpha} = 0), при \sigma  = 1 совпадает с единичной окружностью, при \sigma  > 1 находится вне единичного круга.

Приведем еще один пример исследования на устойчивость разностной задачи:

\begin{gather*}
 \frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} - a^2 \frac{{u_{m + 1}^{n} - 2u_m^{n} + u_{m + 1}^{n}}}{{h^2}} = 0, u_m^0 = \varphi_m , \\ 
n = 0, \ldots , N - 1 , m = 0, \ldots , M - 1 , a > 0.
\end{gather*}

Эта схема аппроксимирует задачу Коши для уравнения теплопроводности.

После подстановки решения в виде гармоники Фурье, умноженной на коэффициент перехода, u_m^{n} = {\lambda}^{n} e^{i {\alpha}m} в разностное уравнение, получим уравнение для спектра оператора послойного перехода

$  
 \frac{{\lambda}- 1}{\tau} - a \frac{e^{- i {\alpha}} - 2 + e^{i {\alpha}}}{h^2} = 0.  $
Лекция 1: 1234567891011 || Лекция 2 >
Максим Радунцев
Максим Радунцев
Россия
Надежда Павленко
Надежда Павленко
Россия, Ставрополь