Опубликован: 10.09.2016 | Уровень: для всех | Доступ: платный
Лекция 11:

Временные ряды с высокой изменчивостью

< Лекция 10 || Лекция 11: 1234 || Лекция 12 >

11.3. Модели АРУГ-М

АРУГ-модель обобщили Р. Энгл, Д. Лилиен и Р. Робинс, позволив среднему процесса зависеть от собственной условной дисперсии. Модели этого класса, названные АРУГ-М-моделями, удобны для изучения рынка ценных бумаг. Основная мысль состоит в том, что избегающие риска агенты (участники рынка) будут требовать компенсацию за то, что держат в своем портфеле рискованные ценные бумаги. Известно, что степень риска часто измеряется дисперсией доходности, поэтому премия за риск будет возрастающей функцией условной дисперсии доходности. Энгл и его соавторы выразили эту мысль, выписав превышение доходности y_{t} от держания рискованных ценных бумаг над государственными облигациями, рассчитанными на погашение в течение одного периода времени, принятого за единицу, в виде

y_{t} = \mu _{t} + \varepsilon _{t}, (11.22)

где

\mu _{t} - премия за риск, побуждающая избегающих риска агентов держать долгосрочные ценные бумаги, а не краткосрочные государственные облигации;
\varepsilon _{t} - непредсказуемые колебания показателей доходности долговременных рискованных ценных бумаг.

Заметим, что ожидаемое превышение доходности от держания долгосрочных ценных бумаг должно быть равно премии за риск

M_{t-1}y_{t} = \mu _{t}. (11.23)

Энгл, Лилиен и Робинс предполагали, что премия за риск является возрастающей функцией условной дисперсии \varepsilon _{t}; другими словами, чем больше условная дисперсия доходностей, тем большая компенсация необходима участнику рынка, чтобы продолжать держать долгосрочные ценные бумаги. Математически это означает, что

\mu _{t} = \beta + \delta h_{t}, \delta > 0, (11.24)
где h_{t} - условная дисперсия \varepsilon _{t}.

Выразим h_{t} как АРУГ-процесс

h_{t} = \alpha _{0} +\alpha _{0}\varepsilon ^{2}_{t-i} . (11.25)

Уравнения (11.22)-(11.25) образуют основу АРУГ-М-модели.

Если рассмотреть случай \alpha _{1} = \alpha _{2} = \dots = \alpha _{q} = 0, то модель АРУГ-М вырождается в хорошо известную модель с постоянной премией за риск. Как и в предыдущих случаях, принятие модели АРУГ-М может быть осуществлено на основании теста, использующего выражение типа (11.21). Статистика TR^{2} асимптотически распределена как x^{2} с числом степеней свободы равным числу ограничений.

r_{t} -квартальная доходность трехмесячных облигаций за период от t до t + 1. В конце двух кварталов, вложив один доллар, инвестор получит (1 + r_{t})(1 + r_{t+1}) долларов. Пусть R_{t} означает квартальную доходность от шестимесячных облигаций. Тогда (1 + R_{t})^{2} - доход, полученный держателем шестимесячной облигации в конце срока хранения. Превышение дохода от держания шестимесячной облигации (без учета квадратичных членов) приблизительно составит:

y_{t} = 2R_{t} - r_{t+1} - r_{t}. (11.26)

Подставляя y_{t} в виде константы плюс возмущение, получаем уравнение

y_{t} = 0,142 + \varepsilon _{e}.\\ (4,04) (11.27)

В скобках дана t-статистика свободного члена. Превышение 0,142% за квартал составило четыре стандартных отклонения от нуля. После 1979 г. наступил период более высокой изменчивости, чем в предыдущем периоде наблюдений. Чтобы тестировать наличие АРУГ-ошибок, квадратичные ошибки были представлены регрессией со взвешенным средним квадратичных ошибок

h_{t} =\alpha _{0} + \alpha _{1} (0,4\varepsilon ^{2}_{t-1} + 0,3\varepsilon ^{2}_{t-2} + 0,2\varepsilon ^{2}_{t-3} + 0,1\varepsilon ^{2}_{t-4}).

При гипотезе, что \alpha _{1} = 0, TR^{2} = 10,1, которое должно быть распределено как x^{2} с одной переменной степенью свободы. При 1%-ном уровне значимости критическое значение x^{2}-распределения равно 6,635. Следовательно, гетероскедастичность присутствует, без сомнения.

Если существуют АРУГ-ошибки, значит, уравнение (11.27) не отражает суть процесса.

Оценки коэффициентов по методу максимального правдоподобия (ММП-метод) модели АРУГ-М и соответствующие t-статистики цитируемой работы приведены ниже:

y_{t} = -0,0241 + 0,687ht + e_{t},
t (-1,29) (5,15)
h_{t} = 0,0023 + 1,64(0,4\varepsilon ^{2}_{t-1} + 0,3\varepsilon ^{2}_{t-2} + 0,2\varepsilon ^{2}_{t-3} + 0,1\varepsilon ^{2}_{t-4})
t (1,08) (6,3)

Оценка 1,64 параметра АРУГ-уравнения показывает, что безусловная дисперсия бесконечная (хотя условная дисперсия конечная). Изменения в величине \varepsilon _{t-i} ведут к увеличению условной дисперсии. Поэтому и появляются периоды спокойствия и высокой изменчивости. В течение периода высокой изменчивости премия за риск растет.

< Лекция 10 || Лекция 11: 1234 || Лекция 12 >
Инесса Воробьева
Инесса Воробьева

В дисциплине "Основы эконометрики" тест 6 дается по теме 7.

Вера Борисова
Вера Борисова
Россия
Студентик Студент
Студентик Студент
Россия