НОУ ИНТУИТ | Введение в эконометрику. Лекция 3: Множественная регрессия

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 10.09.2016 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 27 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

3.1. Постановка задачи

Пусть дана система случайных величин $(X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})$ . Для простоты будем считать, что все случайные величины центрированы, т.е. $М(X_{i}) = 0$ .

Рассмотрим случайный вектор

а также матрицу

Математическим ожиданием матрицы, элементами которой являются случайные величины, назовем матрицу, составленную из математических ожиданий элементов исходной матрицы.

Тогда, учитывая, что

$M(X_{i}X_{j}) = cov(X_{i},X_{j}),$

получаем матрицу

Она называется ковариационной матрицей случайного вектора.

Если случайные величины $X_{i}$ не только центрированы, но и нормированы, т.е. если $M(X_{i}) = 0, D(X_{i}) = 1 (i = 1, 2, \dots , n)$ , то $cov(X_{i}, X_{j}) = r_{ij}$ , где $r_{ij}$ - коэффициенты корреляции для случайных величин $X_{i}, X_{j}$ .

Ковариационная матрица в этом случае равна

и называется корреляционной матрицей.

Ранее отмечалось, что регрессионный анализ заключается в построении математических зависимостей на основе экспериментальных данных и статистическом анализе результатов.

Рассмотрим линейную модель регрессии, использующую -факторы,

(3.1)

где

	-	номер наблюдения ( $u = 1, 2, \dots , N$ );
$x_{i} = (x_{il}, x_{i2}, \dots , x_{iN})^{T}$	-	вектор-столбец, состоящий из значений -й переменной в наблюдениях;
$b_{i} (i = 0, 1, \dots , k)$	-	теоретические значения коэффициентов модели;
$\varepsilon _{u}$	-	ошибка в -м наблюдении.

Данные в наблюдениях удобно записывать в табличном виде. Заметим, что $x_{0}$ обычно считают фиктивной переменной, тождественно равной единице, $x_{0j }= 1 (j = 1, 2, \dots , N)$ .

Таким образом, $\beta _{0}$ - свободный член в уравнении (3.1), а число реальных переменных, включенных в уравнение (3.1), равно .

Стандартная процедура регрессионного анализа, выполняемого на основе метода наименьших квадратов, требует выполнения условий Гаусса - Маркова, сформулированных в главе 2.

При этих условиях, в частности, случайные ошибки eu имеют нулевое математическое ожидание, т.е. $М(\varepsilon _{u}) = 0 (u = 1, 2, \dots, n)$ , не коррелируют друг с другом и имеют одинаковые дисперсии. Другими словами, $М(\varepsilon \varepsilon ^{T}) = \sigma ^{2}I$ , где $\varepsilon = (\varepsilon _{1}, \varepsilon _{2}, \dots, \varepsilon _{n})^{T}$ , а - единичная матрица.