Опубликован: 17.02.2011 | Уровень: специалист | Доступ: платный
Лекция 19:

Интервальная арифметика над конечным полем и ее приложения к теории экспериментов с автоматами

< Лекция 18 || Лекция 19: 12 || Лекция 20 >

Заметим, что множество IGF(p) обобщенных интервалов является замкнутым относительно введенных бинарных операций.

Как следует из формулы (19.4), любая бинарная операция над обобщенными интервалами сводится к соответствующей операции над обычными интервалами поля GF(p) .

Введем унарную операцию над обычным интервалом x=[\underline x,\bar  x] \in IGF(p):

-x=[-\underline x,-\bar  x]

где " \xi " - это элемент поля GF(p) , обратный к элементу \xi по сложению, т. е. такой, что \xi \oplus (-\xi)=0. Аналогичную операцию для обобщенного интервала X=Y_{i\in I}x_i определим так:

-X=Y_{i\in I}(-x_i)

С использованием этой операции бинарная операция вычитания выражается через операцию сложения:

A-B=A+(-B) ( 19.5)

Например, при p=5, a=[0,1], b=[4,1] , тогда [0,1] - [4,1] = [0,1] + (-[4,1]) = = [0,1] + [4,1] = [4,2].

Введем операцию умножения элемента \alpha \in GF(p) на обобщенный интервал X:

\alpha \cdot X=Y_{\xi \in X}[\alpha \odot \xi, \alpha \odot \xi] ( 19.6)

Используя эту операцию, бинарную операцию умножения обобщенных интервалов можно записать в виде

AB=Y_{\alpha \in A}\alpha B ( 19.7)

Например, если p=5, а=[2,4], b=[1,2] то имеем

a \cdot b=2[1,2] \bigcup 3[1,2]\bigcup 4[1,2]=[2,2]\bigcup [4,4]\bigcup [3,3]\bigcup [1,1] \bigcup [3,4]=[1,4]

И наконец, операцию деления обобщенных интервалов можно записать в виде

A/B=A(Y_{\beta \in B}1/\beta ) ( 19.8)

где 1/ \beta - это элемент GF(p) , обратный элементу \beta по умножению, т. е. такой, что \beta \cdot (1/ \beta)=1.

Например, если p=5, a=[1,3], b=[3,4] , то

[1,3]/[3,4]=[1,3](1/3 \bigcup 1/4)= [1,3]*(2 \bigcup 4)=2*[1,3]\bigcup 4*[1,3]=[1,2] \bigcup [4,4]\bigcup [2,4]=[1,4].

Остановимся на свойствах арифметических операций в IGF(p) . Напомним, что в классической интервальной арифметике [2] функция

\zeta =f(\xi, \eta)

где f(\xi, \eta)=\xi * \eta , *\in \{+,-, \cdot, /\}, \xi \in x, \eta \in y, x,y \in I(R) (при делении предполагается, что 0 \notin y ) - непрерывные функции на компактном множестве, и потому f(\xi, \eta) принимает как наименьшее, так и наибольшее значения. Таким образом, x*y есть также замкнутый вещественный интервал, который полностью заполнен вещественными числами, являющимися результатами упомянутых бинарных операций над соответствующими числами. При этом границы результата выражаются через операции с границами операндов. Некоторая, но не полная, аналогия справедлива и в интервальной арифметике над полем GF(p) . Исходя из указанной аналогии, найдем формулы, позволяющие выражать результаты бинарных операций над обычными интервалами через их границы.

Введем понятие ширины обобщенного интервала X=Y_{i \in I}x_i и обычного интервала x_i=[\underline x_i, \bar x_i], обозначаемых далее как w(X) и w(x_i) соответственно:

w(X)-\sum_{i \in I}w(x_i),\\
w(x_i)=
\begin {cases}
\bar x_i- \underline x_i+1,\ \mbox{если} \ x_i \ \mbox {правильный интервал},\\
\bar x_i-x_i+p+1, \ \mbox{если} \ x_i \ \mbox {неправильный интервал}
\end {cases}

Понятно, что w(x_i) и w(X) - это число элементов в соответствующих интервалах. Очевидно также, что w(x_i)=\bar x_i \circleddash \underline x_i+1 в любом случае.

Пусть a=[\underline a, \bar a], b=[\underline b, \bar b] - обычные интервалы поля GF(p) , тогда для сложения интервалов справедлива следующая формула

a+b=
\left \{
\bedin {matrix}
[\underline a \oplus \bar b, \bar a \oplus \underline b], \qquad \mbox{если} \qquad w(a)+w(b) \le p,\\
[0, p-1] \qquad \mbox{в противном случае} \qquad
\end {matrix}

Доказательство этой формулы приведено в [31].

Аналогично, для операции вычитания обычных интервалов справедлива следующая формула

a-b=
\left \{
\begin {matrix}
[\underline a \circleddash \bar b, \bar a \circleddash b], \ \mbox {если} \ w(a)+w(b) \le p,\\
[0, p-1] \ \mbox {в противном случае} \qquad 
\end {matrix}

Произведение и частное интервалов представить через операции с границами сомножителей в общем случае не удается. Ситуация по сравнению с классической интервальной арифметикой осложняется в связи с тем, что, к примеру, для произведения интервалов не выполняется даже включение: ab \subseteq [\underline a \odot \underline b, \bar a \odot \bar b].

Следующее утверждение, доказательство которого приведено в [31], касается свойств введенных интервальных операций и самих интервалов.

Теорема 19.1. Пусть A,B,C \in IGF(p), тогда:

  1. A+B=B+A, A*B=B*A (коммутативность);
  2. (A+B)+C=A+(B+A), (AB)C=A(BC) (ассоциативность);
  3. (\forall A \in IGF(p)) A=A+[0,0]=[0,0]+A, A*[1,1]=[1,1]*A, то есть [0,0] и [1,1] являются единственными нейтральными элементами для сложения и умножения соответственно;
  4. IGF(p) не имеет делителей нуля;
  5. Произвольный невырожденный интервал из IGF(p) не имеет обратного ни по сложению, ни по умножению, но 0 \in A-A, 1 \in A\A ;
  6. A(B+C) \in AB+AC (субдистрибутивность);
  7. \lambda (A+B)=\lambda A+ \lambda B, где \lambda \in GF(p) (дистрибутивность умножения на число);
  8. \forall \alpha \in GF(p) [\alpha, \alpha -1]=[0, p-1] ;
  9. w(A*B) \le w(A)*w(B), где *\in \{\oplus, \circleddash , \odot, \oslash\} ;
  10. w(a+b)=w(a-b)=w(a)+w(b)-1 если a,b - обычные интервалы и w(a)+w(b) < p ;
  11. w(\lambda A)=w(A), \lambda \in GF(p) и \lambda \ne 0.

Заметим, что IGF(p) с введенными операциями сложения и умножения на число не является линейным пространством, и даже квазилинейным, так как не выполняется аксиома линейности

(\lambda +\mu)A=\lambda A + \mu A,

где

\lambda , \mu \in GF(p), A \in IGF(p)

Как и в классической интервальной арифметике, в интервальной арифметике над конечным полем GF(p) возникают задачи поиска решений интервальных уравнений и систем. Кратко остановимся на этом.

Рассмотрим уравнение относительно Х

f(A,X)=B ( 19.9)

зависящее от некоторых параметров (A_1, \dots, A_s)^T, где A_i, B \in IGF(p), i=\overline {1,s}, f(A,X) - рациональное выражение, которое состоит из интервалов A,X соединенных знаками арифметических операций.

Определение 19.4. Назовем алгебраическим решением уравнения (19.9) такой обобщенный интервал X \in IGF(p), что при его подстановке в (19.9) получается точное равенство.

Пусть, например, p=5 и рассматривается уравнение [1,2]+X=[4,2]. Можно убедиться, что интервалы X_1=[0,0] \bigcup [3,3] и X_2=[3,0] ([3,0]=[0,0] \bigcup [3,3] \bigcup [4,4]), подставленные в заданное уравнение, дают точное равенство, т. е. оба этих интервала являются алгебраическими решениями. Из этого примера следует, что алгебраическое решение уравнения A+X=B в общем случае не единственно.

Следующие определения множеств решений были введены в [51] для множеств решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений, здесь эти множества решений определяются для уравнений (19.9).

Определение 19.5. Назовем объединенным множеством решений уравнения (19.9) следующее множество элементов:

X_{\exists \exists }=\{\xi \in GF(p)|( \exists \alpha \in A)( \exists \beta \in B)f(\alpha, \xi)=\beta \}

Так, для уравнения [1,2]+X=[4,2] объединенное множество решений есть X_{\exists \exists }=[0,4].

Определение 19.6. Назовем допустимым множеством решений уравнения (5.9) следующее множество:

X_{\forall \exists }=\{\xi \in GF(p)|(\forall \alpha \in A)( \exists \beta \in B)f(\alpha , \xi) = \beta \}

Для рассмотренного выше примера X_{\forall \exists }=[3,0], т. е. для этого уравнения имеет место включение X_{\forall \exists } \subset X_{\exists \exists }. Легко показать, что такое включение справедливо и в общем случае. Кроме того, для этого же примера X_{\forall \exists }=X_2, т. е. допустимое множество решений совпадает с одним из алгебраических решений.

Определение 19.7. Назовем управляемым множеством решений уравнения (19.9) следующее множество:

X_{\forall \exists }=\{\xi \in GF(p)|(\forall \beta \in B)( \exists \alpha \in A) \vdots f(\alpha, \xi )=\beta \}

Так, для р=5 уравнение [1,3]+X=[0,1] управляемое множество решений есть X_{\exists \forall }=[3,4].

Теорема 19.2. Линейное уравнение a+X=b, где a,b - обычные интервалы над полем GF(p) , имеет алгебраическое решение X в виде обобщенного интервала тогда и только тогда, когда w(a) \le w(b).

Доказательство.

Необходимость. Докажем ее от противного. Пусть w(a)>w(b). Покажем, что в этом случае рассматриваемое уравнение решений не имеет. Пусть a=\{\alpha_1, \dots, \alpha_{\mu}\}. Выберем произвольный элемент \xi \in GF(p) и построим множество a_{\xi}=\{\alpha_1 \oplus \xi, \dots, \alpha_{\mu} \oplus \xi\}. Очевидно, что в a_{\xi} все элементы попарно различны т. е. w(a_{\xi})=\mu. Элемент \xi \notin X поскольку среди элементов A_{\xi} существует по крайней мере один такой элемент a_i \oplus \xi \notin b ибо w(b)< \mu. Из произвольности элемента \xi следует, что в X нет ни одного элемента GF(p), т. е. алгебраическое решение пусто.

Достаточность. Пусть w(a) \le w(b) тогда алгебраическое решение есть X=[\underline b \circleddash \underline a, \bar b \circleddash \bar a], a+X=[a,a]+[ \underline b \circleddash \underline a, \bar b \circleddash \bar a]= \underline a \oplus \underline b \circleddash \underline a, \bar a \oplus \bar b \circleddash  \bar a]=[ \underline b, \bar b]=b. При этом по свойству 11 в теореме 19.1 w(b)=w(a +X)=w(a)+w(X)-1. Отсюда следует, что w(b)-w(a)=w(X)-1 Тогда, учитывая, что w(a) \le w(b), получим w(X) \ge 1, т. е. множество X не пусто.

Заметим, что теорема 19.2 для случая, когда в уравнении A+X=B вместо обычных интервалов использованы обобщенные интервалы, неверна. В самом деле, пусть p=7, A+[1,1] \bigcup [3,3] \bigcup [5,5], B+[6,2]. Перебором можно проверить, что уравнение в этом случае алгебраического решения не имеет.

Для существования алгебраического решения уравнения AX=B условие w(A) \le w(B) является необходимым, но не является достаточным даже для случая, когда A и B - обычные интервалы. Например, при p=7 уравнение [2,4]*X=[2,5] алгебраического решения не имеет, хотя w(A)=3 < w(B)=4. В то же время это уравнение имеет объединенное множество решений X_{\exists \exists }=[1,6] и допустимое множество решений X_{\forall \exists }=[1,1] \bigcup [6,6].

Для уравнения

A+X=B

введенные множества решений определяются следующим образом:

X_{\exists \exists }=Y_{\alpha \in A}Y_{\beta \in B}(\beta \circleddash \alpha)=B_A ( 19.10)
X_{\forall \exists }=I_{\alpha \in A}Y_{\beta \in B}(\beta \circleddash \alpha) ( 19.11)
X_{\forall \exists }=I_{\beta \in B}Y_{\alpha \in A}(\beta \circleddash \alpha) ( 19.12)

Для уравнения

AX=B

где

0 \notin A

множество решений определяются аналогично:

X_{\exists \exists }=Y_{\alpha \in A}Y_{\beta \in B}(\beta \oslash \alpha)=B/A ( 19.13)
X_{\forall \exists }=I_{\alpha \in A}Y_{\beta \in B}(\beta \oslash \alpha) ( 19.14)
X_{\forall \exists }=I_{\beta \in B}Y_{\alpha \in A}(\beta \oslash \alpha) ( 19.15)

Равенства (19.10)-(19.12), (19.13)-(19.15) следуют из определения множеств X_{\exists \exists}, X_{\forall \exists }, X_{\exists \forall} и определения теоретико-множественных операций объединения и пересечения.

Рассмотрим пример. Пусть p=7 и уравнение имеет вид

[2,4]*X=[2,5]

Для наглядности построим таблицу деления \beta \oslash \alpha, где \beta \in [2,5], \alpha \in [2,4].

\alpha \ \beta 2 3 4 5
2 1 5 2 6
3 3 1 6 4
4 4 6 1 3

Объединение всех элементов строк (столбцов) таблицы составляет объединенное множество решений X_{\exists \exists}=[1,6]. Пересечение элементов строк таблицы составляет допустимое множество решений X_{\forall \exists }=[1,1] \bigsup [6,6]. Пересечение элементов столбцов таблицы пусто, поэтому X_{\exists \forall}= \varnothing и управляемых решений уравнение не имеет.

Теорема 19.3. Все множество решений уравнений A+X=B и AX=B и алгебраическое решение, если оно существует, включаются в объединенное множество решений, т. е. в B-A для уравнения A+X=B и в B\A для уравнения AX=B

Доказательство этой теоремы следует из равенств (19.10)-(19.12), (19.13)-(19.15) для множеств решений. Для алгебраического решения очевидно, что если оно существует, то все его элементы являются допустимыми решениями и, следовательно, принадлежат также и объединенному множеству решений.

Вопросы и упражнения

  1. Дайте определение равенства двух интервалов.
  2. Приведите определения различных типов интервалов: обычных, обобщенных, правильных, неправильных, вырожденных.
  3. Дайте определение бинарных операций над различными типами интервалов.
  4. Перечислите свойства интервалов и операций над ними.
  5. Приведите определения различных типов решений интервального уравнения f(A,X) = B: алгебраического, объединенного, допустимого, управляемого.
  6. Сформулируйте критерий существования алгебраического решения линейного интервального уравнения a + X = b.
< Лекция 18 || Лекция 19: 12 || Лекция 20 >
Дмитрий Степаненко
Дмитрий Степаненко
Россия
Юрий Фролов
Юрий Фролов
Украина