Опубликован: 17.02.2011 | Уровень: специалист | Доступ: платный
Лекция 12:

Эксперименты в пространстве обобщенных состояний и с линейными автоматами с запаздыванием

< Лекция 11 || Лекция 12: 12 || Лекция 13 >

Эксперименты с линейными автоматами с запаздыванием

Выше были рассмотрены ЛА, в правых частях уравнений переходов и выходов которых фигурировали векторы и матрицы со значениями только в момент времени t. Вместе с тем многие реальные процессы и устройства требуют для своего описания использования уравнений с запаздыванием.

Ниже будет использована классификация произвольных дискретных систем (ДС) с запаздыванием, предложенная в [17]. Очевидно, что эта классификация годится и для рассматриваемого нами частного случая ДС - линейных автоматов, заданных над полем GF(p). В приведенных ранее обозначениях упомянутая классификация ДС такова:

Обыкновенная ДС - поведение ее описывается уравнением

\bar s(t+ \alpha )+A_1\bar s(t+ \alpha -1)+ \dots + A_{\alpha}\bar s(t)=B_0\bar u(t+ \beta)+ \dots +B_{\beta}\bar u(t), \beta < \alpha ( 12.8)

Для того чтобы движение обыкновенной ДС было однозначно определено при t \ge 0, для любого входа \bar u(t) должны быть заданы начальные условия \bar s(0), \bar s(1), \dots, \bar s(\alpha -1) и \bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(\beta - 1)

ДС с запаздыванием по состоянию - поведение ее описывается уравнением

\bar s(t+1)=A\bar s(t)+A_1\bar s(t-h)+B\bar u(t) ( 12.9)

Для однозначного определения процесса \bar s(t) при любом входе \bar u(t) задаются начальные условия \bar s(0), \bar s(-1), \dots, \bar s(-h), где h - некоторое положительное целое число.

ДС с запаздыванием по управлению - поведение ее описывается уравнением

\bar s(t+1)=A\bar s(t)+B\bar u(t)+B_1\bar u(t-h) ( 12.10)

Для однозначности определения процесса \bar s(t) при t \ge - при любом входе \bar u(t) должны быть заданы начальные условия \bar s(0) и \bar u(0), \bar u(-1), \dots, \bar u(-h), где h - некоторое положительное целое число.

В этом разделе будут рассмотрены вопросы существования СП, УП и ДП и методы их построения для линейных автоматов с запаздыванием, уравнения переходов которых представлены формулами (12.8)-(12.10).

Для получения критериев существования различных типов экспериментов для ЛА с запаздыванием используем следующую идею, изложенную в[71]. Попытаемся из фазового пространства состояний исходной ДС с запаздыванием по состоянию перейти в новое фазовое пространство состояний большей размерности с тем, чтобы уравнение состояний при этом трансформировалось в уравнение состояний ЛА без запаздывания. Аналогичное преобразование проделаем и в случае ЛА с запаздыванием по управлению, переходя от исходного входного вектора к вектору большей размерности с целью получения уравнений ЛА без запаздывания.

Из приведенных выше описаний ДС можно заключить, что участвующие в них векторы \bar s(t), вообще говоря, не всегда представляют собой состояние системы в общепринятом смысле, т. е. ту минимальную по объему информацию, которую необходимо знать в текущий момент времени t для однозначного продолжения процесса \bar s(t) при известном входе \bar u(t) Учитывая сказанное, каждую из перечисленных выше ДС с запаздыванием мы опишем в виде ЛА, определив соответствующим образом для ДС различных типов уравнение ее состояний, а затем для формулировки условий существования СП для этой ДС воспользуемся соответствующим критерием, полученным для ЛА без запаздывания.

Рассмотрим вначале обыкновенную ДС, заданную уравнением (12.8). Состояние \bar z(t+\alpha) этой ДС в произвольный момент времени t+\alpha определим как вектор [\bar s(t), \bar s(t+1), \dots, \bar s(t + \alpha +1)]' Тогда состояние, в которое она переходит при подаче входного сигнала \bar u(t+ \beta), есть вектор \bar u(t+\alpha +1)=[\bar s(t+1), \dots, \bar s(t+ \alpha)]'. Таким образом, если эту ДС описывать в виде ЛА, то размерность такого ЛА есть величина n=m \alpha а начальное состояние есть \bar z(0)=[\bar s(0), \bar s(1), \dots, \bar s(\alpha +1)]' В качестве входного вектора \bar u(t+\beta) этой ДС теперь будем использовать вектор \tilde u(t+\beta)=[\bar u(t), \bar u(t+1), \dots, \bar u(t+\beta)]' С учетом изложенного, если описывать рассматриваемую ДС в виде ЛА, уравнение ее переходов состояний примет вид

\bar z(t+ \alpha +1)=A*\bar z(t+ \alpha)+B* \tilde u(t+\beta) ( 12.11)

Матрицы A* и B* имеют блочную структуру, которая описывается ниже. В роли блоков в матрице A* выступают матрицы размерности m \times m, а число "блочных" строк и столбцов ее равно величине \alpha Структура этой матрицы имеет следующий вид ( E_m - единичная матрица размером m \times m ):

A*=
\left [
\begin {matrix}
[0]&E_m&[0] &\dots & [0]\\
[0]&[0]&E_m& \dots &[0]\\
\dots &a \dots & \dots & \dots &\dots \\
[0]&[0]&[0]& \dots E_m\\
\A_{\alpha}& -A_{\alpha -1}& -A_{\alpha -2}& \dots -A_1
\end {matrix}
\right ]

В роли блоков матрицы B* выступают матрицы размерности m \times l. Число "блочных" строк в B* равно \alpha, а число "блочных" столбцов - \beta +1. Структура этой матрицы такова:

B*=
\left [
\begin {matrix}
[0]&[0]&[0]&\dots &[0]\\
[0]&[0]&[0]& \dots &[0]\\
\dots & \dots & \dots & \dots &\dots\\
[0] &[0]&[0]& \dots [0]\\
B_{\beta}&b_{\beta -1}&B_{\beta -2}& \dots &B_0
\end {matrix}
\right ]

Непосредственной проверкой можно убедиться, что уравнение (12.11) с такими характеристическими матрицами задает линейный автомат, эквивалентный, с точки зрения функционирования, обыкновенной ДС, описанной разностным уравнением (1.1), откуда следует справедливость следующего утверждения:

Теорема 1.1 Для того чтобы ЛА с запаздыванием, описанный уравнением (12.8), имел СП длины k, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (A*)^k.

Рассмотрим теперь ДС с запаздыванием по состоянию. Состояние ее в произвольный момент времени t определим как вектор \bar z(t)=[\bar s(t-h), \bar s(t-h+1), \dots, \bar s(t)]' Тогда следующее состояние после подачи очередного входа будет \bar z(t+1)=[\bar s(t)(h+1), \dots, \bar s(t), \bar s(t+1)]' Следовательно, при описании этой ДС в виде ЛА размерность последнего равна величине n=m(h+1) , а начальное состояние есть \bar z(0)=[\bar s(0), \bar s(-1), \dots, \bar s(-h)], компонентами которого являются заданные начальные условия. Учитывая сказанное, при описании ДС с запаздыванием по состоянию в виде ЛА уравнение переходов состояний примет вид

\bar z(t+1)=A*\bar z(t)+B* \tilde u(t)

где матрицы A^{\cdot} и B^{\cdot} так же, как и в предыдущем случае, имеют блочную структуру. В роли блоков в матрице A^{\cdot} выступают матрицы размерности m \times m, а число ее "блочных" строк и столбцов равно h+1:

A*=
\left [
\begin {matrix}
[0]&E_m&[0]& \dots &[0]\\
[0]&[0]&E_m& \dots &[0]\\
\dots &\dots &\dots &\dots &\dots\\
[0]&[0]&[0]& \dots &E_m\\
A_1&[0]&[0]& \dots &A
\end {matrix}
\right ]

В роли блоков в матрице B* выступают матрицы размерности m \times l, "блочных" строк в ней одна, а число столбцов - h+1:

B*=[[0] \dots [0]B]'

Можно проверить, что уравнение (10.1) с приведенными характеристическими матрицами задают ЛА, эквивалентный, с точки зрения функционирования, ДС с запаздыванием по состоянию, описанную уравнением (12.9). Отсюда следует, что для ДС такого типа справедлив аналог теоремы 10.1.

Рассмотрим, наконец, ДС с запаздыванием по управлению. При описании в виде ЛА состояние последнего в момент времени t отождествим с вектором \bar s(t) из (12.10), а входным вектором ЛА теперь будет являться вектор

\tilde u(t)=[\bar u(t), \bar u(t-1), \dots, \bar u(t-h)]'

Тогда очевидно, что основная характеристическая матрица соответствующего ЛА просто совпадает с матрицей A из (1.1), а в роли матрицы B в формуле (1.1) будет выступать "блочный" вектор

B*=[B[0] \dots [0] B_1]'

Из изложенного следует, что условие существования СП для ДС с запаздыванием по управлению просто совпадает с соответствующим условием для ЛА, описанного уравнением (1.1).

Подводя итог, отметим, что каждой из перечисленных выше типов ДС можно поставить в соответствие такой ЛА без запаздывания, который эквивалентен соответствующей ДС по поведению. Отсюда следует, что ранее доказанные для ЛА без запаздывания утверждения оказываются справедливыми для ЛА с запаздыванием. В частности, для них имеют место аналоги теорем 1.2, 1.3, следствие из теоремы 1.1 и т. д.

Кроме того, для решения задачи о переводе ЛА с запаздыванием в заданное синхросостояние остается пригодным метод, описанный в разделе 1.2 лекции 1. Проиллюстрируем это на примере применительно к обыкновенной ДС над полем GF(2) при \alpha = 1 и \beta =1, заданной уравнением

\bar s (t+2)+A_1 \bar s(t+1)+A_2 \bar s(t)=B_0\bar u(t+1)+B_1 \bar u(t)

где \bar s(t)=[s_1(t), s_2(t)]' и \bar u(t)=[u_1(t)]', т. е. m=2, l=1, а характеристические матрицы ДС имеют следующий вид:

A_1=
\left [
\begin {matrix}
0&1\\
0&0
\end {matrix}
\right ],
A_2=
\left [
\begin {matrix}
0&0\\
0&0
\end {matrix}
\right ],
B_0=
\left [
\begin {matrix}
0\\
1
\end {matrix}
\right ], 
B_1=
\left [
\begin {matrix}
1\\
0
\end {matrix}
\right ]

Вычисления показывают, что эквивалентный рассматриваемой системе ЛА имеет следующие характеристические матрицы:

A*=
\left [
\begin {matrix}
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
0&0&0&1\\
0&0&0&0
\end {matrix}
\right ],
B*=
\left [
\begin {matrix}
0&0\\
0&0\\
1&0\\
0&1
\end {matrix}
\right ]

При этом состоянием ЛА и его входным вектором являются векторы:

\bar s(t)=[s_1(t), s_2(t), s_1(t+1), s_2(t+1]', \dots, \bar u(t)=[u_1(t), u_1(t+1)]'

Пусть задано синхросостояние \tilde s=[0,1,0,1]' и требуется найти такую входную последовательность, которая переводит ДС из произвольного начального состояния в синхросостояние \tilde s.

Легко проверить, что (A*)^3=[0] откуда вытекает, что эквивалентный рассматриваемой системе ЛА синхронизируем и длина минимальной СП равна 3. Для нахождения искомой СП выпишем матричное уравнение вида (1.14) для нашего примера:

(A*)^2B* \tilde u(0)+A*B* \tilde u(1)+B*\tilde u(2)= \tilde s

С учетом приведенных выше матриц A* и B* это уравнение принимает следующий вид:

\left [
\begin {matrix}
0&1\\
0&0\\
0&0\\
0&0
\end {matrix}
\right ] \times
\left [
\begin {matrix}
u_1(0)\\
u_1(1)
\end {matrix}
\right ] +
\left [
\begin {matrix}
1&0\\
0&1\\
1&0\\
0&0
\end {matrix}
\right ] \times
\left [
\begin {matrix}
u_1(1)\\
u_2(1)
\end {matrix}
\right ] +
\left [
\begin {matrix}
0&0\\
0&0\\
1&0\\
0&1
\end {matrix}
\right ] \times
\left [
\begin {matrix}
u_1(2)\\
u_1(3)
\end {matrix}
\right ] =
\left [
\begin {matrix}
0\\
1\\
-\\
1
\end {matrix}
\right ]

Перейдем от этого уравнения к равносильной системе, записанной в координатной форме:

u_1(1)+ u_1(1)=0,  u_1(2)=1, u_1(1)+ u_1(2)=0, u_1(3)=1,

где "+" - операция по модулю 2.

Легко проверить, что эта система совместна и ее решение таково:

u_1(0)=x, u_1(1)=1, u_1(2)=1, u_1(3)=0,

где х означает безразличное значение (0 или 1). Следовательно, для рассматриваемой ДС в качестве СП, переводящей ее из произвольного начального состояния в заданное синхросостояние \tilde s, могут быть использованы две следующие входных последовательностей:

  1. u_1(0)=1, u_1(1)=1, u_1(2)=1, u_1(3)=0,
  2. u_1(0)=0, u_1(1)=1, u_1(2)=1, u_1(3)=0.

Коснемся теперь критериев существования УП и ДП для ДС с запаздыванием.

Поскольку, как показано выше, каждый из рассматриваемых типов ДС соответствует эквивалентной ей ЛА без запаздывания, то критерий существования УП и ДП для ДС с запаздыванием - это теорема 1.4 и 2.1, в которых вместо матриц А и С должны фигурировать матрицы A* и C* эквивалентных ЛА. Кроме того, для ДС с запаздыванием оказываются справедливыми аналоги теорем 10.5, 11.1 и 11.3.

Вопросы и упражнения

  1. Дайте определение обобщенного состояния автомата.
  2. Укажите различие между классической диаграммой автомата и диаграммой автомата в пространстве обобщенных состояний.
  3. Сформулируйте критерий управляемости обобщенного автомата в матричной форме.
  4. Может ли автомат, не являющийся сильно связным в классическом понимании, оказаться сильно связным в пространстве обобщенных состояний?
  5. Дайте определения обобщенных синхронизирующих, установочных и диагностических последовательностей.
  6. Сформулируйте критерии существования таких последовательностей.
  7. Являются ли свойства обобщенных последовательностей аналогами соответствующих свойств обычных последовательностей тех же типов для "классических" линейных автоматов?
  8. Приведите классификацию линейных автоматов с запаздыванием. 9. Изложите основополагающую идею для получения критериев существования всех типов последовательностей для всех типов автоматов с запаздыванием.
< Лекция 11 || Лекция 12: 12 || Лекция 13 >
Дмитрий Степаненко
Дмитрий Степаненко
Россия
Юрий Фролов
Юрий Фролов
Украина