НОУ ИНТУИТ | Криптографические методы защиты информации. Лекция 4: Эллиптические кривые

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 02.03.2017 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 55 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

4.1.2 Операция на множестве точек эллиптической кривой

Будем временно полагать, что $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ , т. е. что эллиптическая кривая - обычная плоская кривая (с добавлением еще одной, бесконечно удалённой, точки $\mathcal{O}$ ). В графической интерпретации следует себе представлять ее расположенной на оси y в предельном направлении, определяемом все более "крутыми" касательными к кривой.

Она является "третьей точкой пересечения" с кривой для любой вертикальной прямой: такая прямая пересекается с кривой в точках вида (x_1,y_1) , (x_1,-y_1) и в точке $\mathcal{O}$ .

Определение 4.6 Пусть - эллиптическая кривая над полем вещественных чисел и пусть и - две точки на . Определим точки и по следующим правилам.

Точка $\mathcal{O}$ - нейтральный элемент по сложению. В следующих пунктах предполагается, что ни , ни не являются точками в бесконечности.
Точки и имеют одинаковые -координаты, а их -координаты различаются только знаком, т. е. = . Из уравнения кривой сразу следует, что - также точка на .
Если и имеют различные -координаты, то прямая $l = \overline{PQ}$ имеет с еще в точности одну точку пересечения (за исключением двух случаев: когда она оказывается касательной в , и мы тогда полагаем , или касательной в , и мы тогда полагаем ). Определяем теперь как точку , т. е. как отражение от оси третьей точки пересечения. Геометрическое построение, дающее , приводится ниже в примере 4.2.
Если (т. е. координата точки та же, что и y , а координата отличается лишь знаком), то полагаем $P + Q = \mathcal{O}$ ("точке в бесконечности"; это является следствием п.1}).
Остается возможность . Тогда считаем, что - касательная к кривой в точке . Пусть - единственная другая точка пересечения с . Полагаем (в качестве берем , если касательная прямая в имеет "двойное касание", т. е. если есть точка перегиба кривой).

Пример 4.2 Рассмотрим эллиптическую кривую ${y}^{2}$ = ${x}^{3}$ - x в плоскости xOy ( рис. 4.1).

Здесь приведен типичный случай сложения точек P_1 и P_2 . Чтобы найти P_3 = P_1 + P_2 , проводим прямую $\overline{{P}_{1}{P}_{2}}$ и в качестве P_1+P_2 берем точку, симметричную относительно оси третьей точке P_3' , определяемой пересечением прямой $\overline{{P}_{1}{P}_{2}}$ и кривой. Если бы P_1 совпадала с P_2 , т. е. если бы нам нужно было найти 2P_1 , мы использовали бы касательную к кривой в P_1 : тогда точка 2P_1 симметрична третьей точке, в которой эта касательная пересекает кривую.

Рис. 4.1. Пример геометрического построения суммы точек эллиптической кривой

(Взята эллиптическая кривая y^2=x^3-x )

В случае, когда основное поле не снабжено топологией (т.е. на нём не определено понятие предела), понятие касательной приходится заменять на прямую, проходящую через данную точку кривой, и формальные частные произоводные которой в этой точке совпадает с формальными частными производными уравнения кривой.

Обозначим $({x}_{1},{y}_{1})$ , (x_2,y_2)$, $(x_3,y_3) - координаты точек , и P + Q соответственно. Мы хотим выразить ${x}_{3}$ и ${y}_{3}$ через ${x}_{1}$ , ${y}_{1}$ , ${x}_{2}$ и ${y}_{2}$ .

Если x_1=x_2 , $y_1\neq y_2$ , либо y_1=y_2=0 , то $P_3=\mathcal{O}$ . В остальных случаях получаем:

$\begin{array}{l} x_3 = \lambda^2 - x_1 -x_2, \quad y_3 = \lambda(x_1-x_3) - y_1,\\ \lambda = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \text{~если~}x_1\neq x_2,\\ \dfrac{3x_1^2+a}{2y_1}, \text{~если~}x_1=x_2 \text{~и~} y_1=y_2\neq 0. \end{array} \right. \end{array}$

( 4.1)

Пример 4.3 Пусть и - точки на эллиптической кривой . Найти и .

Решение. Подстановка x_1=-3 , y_1=9 , x_2=-2 , y_2=8 в (4.1) при $x_1\neq x_2$ дает x_3=6 , y_3=0 . Непосредственной подстановкой координат точки P+Q=(6,0) в уравнение кривой можно убедиться в том, что она также лежит на ней.

Для нахождения используем второй вариант формулы (4.4) с x_1=x_2 . Подставляя x_1=x_2=-3 , y_1=y_2=9 , a=-36 , находим x_3=25/4 , y_3=-35/8 . Точка 2P = (25/4, -35/8) также принадлежит рассматриваемой кривой.

Теорема 4.2 Множество точек эллиптической кривой вместе с бесконечно удаленной точкой $\mathcal{O}$ относительно операции, введённой в определении 4.6, образуют коммутативную группу.

Если - целое число, то, как и в любой коммутативной группе, обозначает сумму точек при n>0 и сумму |n| точек , если $n\leq 0$ .

4.1.3 Точки конечного порядка

Порядком точки на эллиптической кривой называется такое наименьшее натуральное число, что $nP=\mathcal{O}$ ; разумеется, такого конечного может и не существовать, в этом случае мы будем говорить о точке бесконечного порядка. Часто требуется найти точки конечного порядка на эллиптической кривой, в особенности на эллиптических кривых, определенных над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$ .

Пример 4.4 Найти порядок точки на .

Решение. Применяя (4.1), находим, что 2P = (0, 1) , 4P = 2(2P) = (0, -1) . Поэтому 4P = -2P и, следовательно, $6P = \mathcal{O}$ . Тем самым порядок может быть равен 2, 3 или 6. Но $2P = (0,1) \neq \mathcal{O}$ , а если бы имела порядок 3, то было бы 4P = P , что неверно. Итак, имеет порядок 6.