НОУ ИНТУИТ | Структуры данных и модели вычислений. Лекция 3: Разделенные множества

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.09.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 19 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Представление разделенных множеств древовидной структурой

Пусть, по-прежнему, $U = \{1, 2\dts n\}$ — множество, из элементов которого будет строиться коллекция. Каждое подмножество коллекции представляется корневым деревом, узлы которого являются элементами этого подмножества, то есть отождествляются с номерами из множества $\{1, 2\dts n\}$ . Корень дерева используется в качестве имени соответствующего подмножества (канонический элемент). Для каждого узла дерева определяется узел p(x) , являющийся его родителем в дереве; если — корень, то полагаем p(x) =
x .

Фактически в памяти компьютера это дерево будем представлять массивом $p[1\ldots n]$ так, что p(x) будет предком узла , если не является корнем, и p(x) = x , если — корень. Если же не входит ни в одно из подмножеств коллекции, то p(x) = 0 .

Рассмотрим пример. Пусть $U = \{1, 2\dts 7\}$ и коллекция состоит из двух подмножеств $\{1, 2, 3, 7\}$ и $\{4, 6\}$ . Деревья, представляющие эти подмножества, могут быть такими, как на рис.3.1. Кружочки обозначают узлы дерева; указатели на родителей представлены при помощи стрелок. Именем одного из этих подмножеств является 3, другого — 6:

Рис. 3.1.

Реализация операций с помощью древовидной структуры

Операция СОЗДАТЬ ( ) назначает в качестве родителя узла сам узел с помощью присваивания p[x]
:= x . Таким образом, время выполнения операции есть O(1) . В результате выполнения операции СОЗДАТЬ( ) образуется новое одновершинное дерево с петлей в корне, изображенное на рис. 3.2.

Рис. 3.2.

Если к коллекции подмножеств, изображенных на рис. 3.1, применить операцию СОЗДАТЬ (5), то получим коллекцию, изображенную на рис. 3.3.

Рис. 3.3.

Операция ОБЪЕДИНИТЬ ( x, y ) назначает узел родителем узла с помощью присваивания p[x]:= y . Заметим, что и должны быть до выполнения рассматриваемой операции корнями соответствующих деревьев. Именем вновь образованного подмножества будет , а перестанет быть именем какого-либо множества. Время выполнения этой операции есть O(1) .

Рис. 3.4.

Если применить операцию ОБЪЕДИНИТЬ (3, 6) к коллекции, представленной на рис. 3.3, то получим коллекцию, состоящую из двух подмножеств $\{1, 2, 3, 4, 6, 7\}$ и $\{5\}$ , — изображенную на рис. 3.4. Именем первого из этих подмножеств будет 6, второго — 5.

Операция НАЙТИ ( x,y ) осуществляется продвижением по указателям на родителей от узла до корня дерева. В качестве берется этот корень. Описанные действия можно реализовать с помощью операторов

$\formula{ \t \while\ p[x] \ne x\ \t \do\ x := p[x];\ y := x; }$

Очевидно, что время выполнения данной операции есть O(h) , где — длина пути из узла в корень соответствующего дерева. Но заметим, что при выполнении операций СОЗДАТЬ и ОБЪЕДИНИТЬ возможно образование дерева в виде линейной цепочки из узлов, изображенной на рис. 3.5.

Рис. 3.5.

К такой цепочке может привести, например, следующая последовательность операций

СОЗДАТЬ ( $\bs 1$ );

СОЗДАТЬ ( $\bs 2$ );

$\dots$ $\dots$ $\dots$

СОЗДАТЬ ( $\bs n$ );

ОБЪЕДИНИТЬ ( $\bs 1, \bs 2$ );

ОБЪЕДИНИТЬ ( $\bs 2, \bs 3$ );

$\dots$ $\dots$ $\dots$

ОБЪЕДИНИТЬ ( $\bs n-{\bs 1},{\bs n}$ );

Как видим, может достигать величины , поэтому трудоемкость операции НАЙТИ является величиной O(n) .

Худший случай применения операции НАЙТИ в данной ситуации — это НАЙТИ ( 1,y ). В этом случае необходимо сделать n -
1 переход по ссылкам на родителей, чтобы дойти от узла к корню дерева , и один переход, чтобы узнать, что родитель узла есть сам узел .

Если операция СОЗДАТЬ выполняется раз, то время выполнения последовательности, составленной из операций ОБЪЕДИНИТЬ и/или НАЙТИ, при рассматриваемой реализации разделенных множеств есть величина $O(m\cdot n)$ . Действительно, время выполнения операций ОБЪЕДИНИТЬ, очевидно, есть O(m) , так как время выполнения одной такой операции есть константа. Время выполнения операций НАЙТИ есть $O(m\cdot n)$ , так как время выполнения одной такой операции есть O(n) . Итак, время выполнения произвольных операций есть $O(m\cdot n)$ .