Графы и деревья

Ориентированные графы

Орграф - это граф, все ребра которого имеют направление. Такие направленные ребра называются дугами. На рисунках дуги изображаются стрелочками (см. рис. 11.6).

Рис. 11.6. Орграф

В отличие от ребер, дуги соединяют две неравноправные вершины: одна из них называется началом дуги ( дуга из нее исходит ), вторая - концом дуги ( дуга в нее входит ). Можно сказать, что любое ребро - это пара дуг, направленных навстречу друг другу.

Если в графе присутствуют и ребра, и дуги, то его называют смешанным.

Все основные понятия, определенные для неориентированных графов ( инцидентность, смежность, достижимость, длина пути и т.п.), остаются в силе и для орграфов - нужно лишь заменить слово " ребро " словом " дуга ". А немногие исключения связаны с различиями между ребрами и дугами.

Степень вершины в орграфе - это не одно число, а пара чисел: первое характеризует количество исходящих из вершины дуг, а второе - количество входящих дуг.

Путь в орграфе - это последовательность вершин (без повторений), в которой любые две соседние вершины смежны, причем каждая вершина является одновременно концом одной дуги и началом следующей дуги. Например, в орграфе на рис. 11.6 нет пути, ведущего из вершины 2 в вершину 5. "Двигаться" по орграфу можно только в направлениях, заданных стрелками.

Взвешенные графы

Взвешенный (другое название: размеченный ) граф (или орграф ) - это граф ( орграф ), некоторым элементам которого ( вершинам, ребрам или дугам ) сопоставлены числа. Наиболее часто встречаются графы с помеченными ребрами. Числа-пометки носят различные названия: вес, длина, стоимость.

Замечание: Обычный (не взвешенный) граф можно интерпретировать как взвешенный, все ребра которого имеют одинаковый вес 1.

Длина пути во взвешенном (связном) графе - это сумма длин (весов) тех ребер, из которых состоит путь. Расстояние между вершинами - это, как и прежде, длина кратчайшего пути. Например, расстояние от вершины a до вершины d во взвешенном графе, изображенном на рис. 11.7, равно 6.

Рис. 11.7. Взвешенный граф

N - периферия вершины v - это множество вершин, расстояние до каждой из которых (от вершины v ) не меньше, чем N.

Способы представления графов

Существует довольно большое число разнообразных способов представления графов. Однако мы изложим здесь только самые полезные с точки зрения программирования.

Матрица смежности

Матрица смежности Sm - это квадратная матрица размером NxN ( N - количество вершин в графе ), заполненная единицами и нулями по следующему правилу:

Если в графе имеется ребро e, соединяющее вершины u и v, то Sm[u,v] = 1, в противном случае Sm[u,v] = 0.

Заметим, что данное определение подходит как ориентированным, так и неориентированным графам: матрица смежности для неориентированного графа будет симметричной относительно своей главной диагонали, а для орграфа - несимметричной.

Задать взвешенный граф при помощи матрицы смежности тоже возможно. Необходимо лишь внести небольшое изменение в определение:

Если в графе имеется ребро e, соединяющее вершины u и v, то Sm[u,v] = ves(e), в противном случае Sm[u,v] = 0.

Это хорошо согласуется с замечанием, сделанным в предыдущем пункте: невзвешенный граф можно интерпретировать как взвешенный, все ребра которого имеют одинаковый вес 1.

Небольшое затруднение возникнет в том случае, если в графе разрешаются ребра с весом 0. Тогда придется хранить два массива: один с нулями и единицами, которые служат показателем наличия ребер, а второй - с весами этих ребер.

В качестве примера приведем матрицы смежности для трех графов, изображенных на рис. 11.5, рис. 11.6 и рис. 11.7 (см. рис. 11.8).

Удобство матрицы смежности состоит в наглядности и прозрачности алгоритмов, основанных на ее использовании. А неудобство - в несколько завышенном требовании к памяти: если граф далек от полного, то в массиве, хранящем матрицу смежности, оказывается много "пустых мест" (нулей). Кроме того, для "общения" с пользователем этот способ представления графов не слишком удобен: его лучше применять только для внутреннего представления данных.