Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем

9.2.4 Решение дифференциальных уравнений методом прогноза-коррекции Адамса

Рассмотрим решение уравнения (9.1)–(9.2) на интервале . Будем считать, что решение в точках уже найдено, и значения в этих точках будем использовать для нахождения значения .

Проинтегрируем уравнение (9.1) на интервале и получим соотношение [2]

( 9.20)

При вычислении интеграла, входящего в (9.20), вместо функции будем использовать интерполяционный полином Лагранжа,построенный по точкам . Подставив полином Лагранжа в (9.20), получаем первое приближение (прогноз) для значения функции в точке

( 9.21)

Как только вычислено, его можно использовать. Следующий полином Лагранжа для функции f (t, x(t)) построим по точкам и новой точке , после чего подставляем его в (9.20) и получаем второе приближение (корректор)

( 9.22)

Таким образом, для вычисления значения методом Адамса необходимо последовательно применять формулы (9.21), (9.22) [2], а первые четыре точки можно получить методом Рунге-Кутта.

9.2.5 Решение дифференциальных уравнений методом Милна

Отличие метода Милна от метода Адамса состоит в использовании в качест ве интерполяционного полинома Ньютона.

Подставив в (9.20) вместо функции интерполяционный полином Ньютона, построенный по точкам получаем первое приближение — прогноз Милна для значения функции в точке [2]

( 9.23)

Следующий полином Ньютона для функции построим по точкам и новой точке , после чего подставляем его в (9.20) и получаем второе приближение — корректор Милна [2]

( 9.24)

В методе Милна для вычисления значения необходимо последовательно применять формулы (9.23), (9.24), а первые четыре точки можно получить методом Рунге-Кутта.

Существует модифицированный метод Милна. В нём сначала вычисляется первое приближение по формуле (9.23), затем вычисляется управляющий параметр [2]

( 9.25)

После чего вычисляется значение второго приближения — корректор Милна по формуле

( 9.26)

В модифицированном методе Милна первые четыре точки можно получить методом Рунге-Кутта, а для вычисления значения необходимо последовательно применять формулы (9.23), (9.25), (9.26).