Метрология и электрорадиоизмерения

:

Метрология и электрорадиоизмерения
[+]
Опубликован: 19.01.2015 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики
Лекция 3:

Элементы теории погрешностей
A
|
версия для печати
< Лекция 2 || Лекция 3: 12 || Лекция 4 >

Систематические случайные погрешности и их математическое описание

Погрешность измерений описывают нестационарным случайным процессом, статистические характеристики которого меняются во времени. Типичная реализация такого процесса – зависимость погрешности конкретного средства измерений от времени (рис. 2.3 рис. 2.3). Эту зависимость $\Delta(t)$ в большинстве случаев можно представить в виде суммы быстро изменяющейся флуктуационной составляющей $\varepsilon(t)$ и медленно меняющегося среднего значения $\theta(t)$.

Зависимость погрешности средства измерений от времени

Рис. 2.3. Зависимость погрешности средства измерений от времени

Если измерения с многогранными наблюдениями провести через некоторое время, в течение которого среднее значение успеет существенно измениться, то погрешность примет новое значение, например $\theta_{2}$. Таким образом, при проведении измерений, разделенных большими интервалами времени, проявляется изменчивость погрешности $\theta(t)$.

Как уже указывалось, систематическая погрешность складывается из нескольких составляющих. Анализ причин, вызывающих возникновение отдельных составляющих, позволит установить приближенные математические модели, пригодные для оценки систематической погрешности.

Методические погрешности в некоторых случаях постоянны и могут быть рассчитаны и исключены. Постоянными являются и инструментальные погрешности, вызванные неточностью регулировки средств измерений при их выпуске или поверке.

Систематические погрешности, зависящие от влияющих величин, как правило, меняются во времени, поскольку сами влияющие величины не остаются постоянными. На параметры электронных измерительных приборов влияют влажность воздуха и температура окружающей среды, атмосферное давление, напряжение питающей сети, возможная вибрация, возникающая при эксплуатации средств измерений на подвижных объектах.

В лабораторных условиях наибольшее влияние на погрешность средств измерений оказывает температура элементов их схем. Характеристики большинства полупроводниковых приборов имеют сильно выраженную температурную зависимость, а параметры катушек индуктивности, конденсаторов и резисторов хотя и в меньшей мере, но также зависят от температуры. Изменения температуры элементов средств измерений вызваны двумя главными причинами: изменением рассеиваемой на этих элементах мощности и колебаниями температуры внешней среды - помещения, в котором размещены средства измерений.

После включения средства измерений в сеть на его элементах начинает рассеиваться практически вся потребляемая мощность, что вызывает значительные изменения температуры всего устройства. Характер и скорость нарастания температуры зависят от термодинамических характеристик элементов схемы: теплоемкости, характера теплообмена с внешней средой, причем элементы схемы нагреваются неравномерно. Однако общий характер нарастания некоторой средней температуры устройства приближенно может быть описан экспоненциальной зависимостью. Подобным же образом меняется и систематическая составляющая погрешности $\theta_{n}(t)$, обусловленная прогревом средства измерений после его включения в сеть. На рис. 2.4 рис. 2.4 показана возможная зависимость погрешности установки частоты f(x) измерительного генератора от времени, аппроксимированная функцией

\theta_{n}(t)=f(t)-f_{н}=f_{1}-f_{н}+(f_{0}-f_{1})exp[-(t-t_{в})/\tau_{т}]

где fH – номинальное значение частоты, устанавливаемое по шкале прибора, f0 – значение частоты в момент включения, f1 – установившееся значение частоты, $\tau_{т}$ – эквивалентная тепловая постоянная времени, – момент включения прибора в сеть.

Зависимость погрешности установки частоты f(x) измерительного генератора от времени t

Рис. 2.4. Зависимость погрешности установки частоты f(x) измерительного генератора от времени t

Экспериментальная зависимость $\theta_{n}(t)$ может описываться и более сложным образом, например суммой нескольких экспонент и линейной функции.

Изменение средней температуры средства измерений при его прогреве может достигать нескольких десятков градусов, что приводит к значительным изменениям систематической погрешности. Если измерения необходимо производить до окончания прогрева средства измерений, то систематическую погрешность можно учесть с помощью ранее полученной зависимости $\theta_{n}(t)$ для данного средства изменений. Как правило, эти зависимости для разных экземпляров средств измерений имеют значительный разброс, поэтому использовать некоторую среднюю зависимость для любого экземпляра средств измерений данного типа обычно нецелесообразно.

В большинстве случаев измерения рекомендуют производить по окончании полного прогрева средств измерений. Необходимое время прогрева указывают в паспортных данных.

Изменения внешней температуры также вызывают появление систематической погрешности. Из-за большой тепловой постоянной времени прибора, которая может достигать десятков минут, он оказывает сглаживающее действие по отношению к колебаниям внешней температуры. Быстрые изменения фильтруются и не влияют на среднюю температуру прибора, а медленные колебания температуры среды изменяют его среднюю температуру и, следовательно, вызывают изменение систематической погрешности.

Влияние медленных колебаний температуры на систематическую погрешность можно учесть с помощью приближенного соотношения:

\theta_{т}\approx K_{т}(T^{0}-T_{н}^{0})

где $K_{т}$ – постоянный коэффициент; $T^{0}$ - значение температуры в данный момент: $T_{н}^{0}$ – номинальное значение температуры, при которой температурная погрешность $\theta_{т}$ отсутствует.

Прогрессирующая во времени систематическая погрешность $\theta_{пр}(t)$ обусловлена постепенным изменением параметров элементов схемы вследствие старения. Это медленный процесс, приближенно описываемый линейной зависимостью

\theta_{пр}(t)=K_{c}(t-t_{n})

где $K_{c}$ – постоянный коэффициент; t – время; $t_{n}$ – время проведения последней проверки средства измерений, при которой систематическая погрешность была исключена. Исходя из допустимого значения погрешности $\theta_{пр}$ и скорости ее изменения, выбирают периодичность поверки.

Математическое описание случайной погрешности

Быстрые флуктуации $\varepsilon(t)$ определяют случайную погрешность, которую приближенно описывают эргодическим случайным процессом с нулевым математическим ожиданием. При проведении измерений с многократными наблюдениями эта составляющая проявляется в виде случайной величины, принимающей значения $\varepsilon_{i}=\varepsilon(t_{i})$ взятые в моменты $t_{i}(i=1,2,...,n)$ проведения наблюдений. Значения $\varepsilon_{i}$ обычно можно считать статистически независимыми.

Отсчитываемые по прибору значения измеряемой величины, а следовательно, и значения $\varepsilon_{i}$, погрешности всегда содержат определенное число значащих цифр. Поэтому погрешность может принимать конечное число значений и, строго говоря, является дискретной случайной величиной. Однако математическое описание таких величин неудобно, и погрешность принято считать непрерывной случайной величиной.

Наиболее полной характеристикой случайной погрешности являются функции распределения. В дальнейшем будем использовать дифференциальную функцию распределения, называемую также плотностью распределения вероятностей $p(\varepsilon)$ или сокращенно плотностью вероятности. По известной плотности вероятности можно определить вероятность пребывания случайной погрешности в заданных границах от $\Delta(н)$ до $\Delta(в)$:

P_{\Delta}=P\{\Delta_{н}\leq\varepsilon\leq\Delta_{в}\}=\int\limits_{\Delta_{н}}\limits^{\Delta_{в}}p(\varepsilon)d\varepsilon. ( 2.1)

Для плотностей вероятности, описываемых симметричными относительно начала координат функциями, нижнюю $\Delta(H)$ и верхнюю $\Delta(В)$ границы погрешности также выбирают симметричными (рис. 2.5, а). рис. 2.5

Симметричные границы обозначим одним символом $\Delta(вн)$ – положительной величиной. Верхняя и нижняя границы погрешности. $\Delta_{в}=\Delta_{вн}$, $\Delta_{н}=-\Delta_{вн}$; или $\pm\Delta_{вн}$. Для заданного закона распределения вероятность $P_{\Delta}$ однозначно зависит от границ погрешности и возрастает с их увеличением.


Рис. 2.5.

Если $P_{\Delta}=1$, то реальные погрешности не могут превышать границ $\Delta_{в}=\Delta_{п}$ $\Delta_{н}=-\Delta_{п}$ или $\pm\Delta_{п}$ погрешность $\Delta_{п}$ будем называть предельной.

По результату измерений и границам погрешности оценивают интервал, в котором с заданной вероятностью $P_{\Delta}$ лежит истинное значение X измеряемой величины. Подставив в (2.1) $\varepsilon=x-X$, получим

P_{\Delta}=P\{x-\Delta_{вн}\leq X\leq x+\Delta_{вн}\}

Следовательно, вероятность $P_{\Delta}$ соответствует вероятности пребывания истинного значения на интервале от $x-\Delta_{вн}$ до $x+\Delta_{вн}$. Поскольку общая погрешность $\Delta=\theta+\varepsilon$, то ее плотность вероятности можно определить, сместив график $P(\varepsilon)$ на $\theta$ (рис. 2.5,б). рис. 2.5 В данном случае нижнюю $\Delta_{н}$, и верхнюю $\Delta_{в}$ границы интервала, в котором с вероятностью $P_{\Delta}$ лежит погрешность, выбирают симметрично относительно математического ожидания, поэтому $|\Delta_{н}|\neq\Delta_{в}$.

К описанию погрешностей плотностью вероятности прибегают сравнительно редко, поскольку для получения $P_{\Delta}$ приходится прибегать к интегрированию или использовать табличные интегралы, а само экспериментальное определение плотностей вероятности сопряжено со значительными затратами времени.

Числовые характеристики погрешности. Во многих случаях погрешности вычисляют по их числовым характеристикам: математическому ожиданию и центральным моментам.

Контрольные вопросы

  1. Можно ли определить истинное значение измеряемой величины?
  2. Проведите классификацию погрешностей измерений в зависимости от характера проявления.
  3. Отличаются ли признаки классификации погрешностей результатов измерений и погрешностей средств измерений?
  4. Наблюдается ли какая-нибудь закономерность в появлении случайных погрешностей измерений?
  5. Каким образом можно существенно уменьшить случайные погрешности измерений? Можно ли совсем устранить случайные погрешности?
  6. Можно ли устранить систематические погрешности?
  7. Может ли систематическая погрешность измерения изменяться при повторных измерениях одной и той же физической величины?
Дальше >>
< Лекция 2 || Лекция 3: 12 || Лекция 4 >

Вопросы и ответы

вопросов: 7
Александр Мантей
Александр Мантей
Входит ли данный курс в перечень программы по переподготовки ФСТЭК?
ответить
Егор Панькин
Егор Панькин

Когда планируется закончить наполнение третьего модуля прогрумы?

ответить

Студенты

всего: 205
Эльвира Белкина
Эльвира Белкина
Россия, Соликамск, Соликамский педагогический институт, 2008
предложить дружбу
Константин Алманцев
Константин Алманцев
Россия, Йошкар-ола, Поволжский государственный технологический университет, 2014
предложить дружбу