Опубликована: 05.04.2011 | Уровень: для всех | Стоимость: 3000.00 руб. | Длительность: 14 дней
В качестве основного подхода к построению разностных схем для простейших (модельных) уравнений принят известный метод неопределенных коэффициентов (позволяющий рассматривать достаточно обширные семейства схем), дополненный анализом этих семейств в пространствах неопределенных коэффициентов и сеточных функций. Анализ разностных схем в пространстве коэффициентов неопределенных (предложенный А.С.Холодовым в 1978г.) оказался достаточно универсальным и весьма конструктивным средством не только для качественного сравнения различных схем (типа: устойчива – неустойчива, монотонна – немонотонна, первого – второго порядка аппроксимации и т.п.) но, в определенном смысле, и количественного их сопоставления.
Поскольку курс в целом ориентирован на методы решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, характерной чертой которых являются разрывные решения (для уравнений гиперболического типа), области больших градиентов (“пограничные слои”) и т.п., достаточно большое внимание уделено построению монотонных (мажорантных) схем. При переходе от модельных уравнений к линейным системам и нелинейным уравнениям в курсе активно используются характеристические свойства уравнений гиперболического типа и аналогичные методы расщепления для других типов уравнений, интегро-интерполяционный метод (метод интегрального тождества) и другие эффективные способы обобщения схем с сохранением заложенных в модельные схемы свойств.
Необходимые знания: Вводный курс вычислительной математики.

План занятий

ЗанятиеЗаголовок <<Дата изучения
-
Лекция 1
1 час 36 минут
-
Лекция 2
1 час 40 минут
-
Тест 1
36 минут
-
Лекция 3
1 час 42 минуты
-
Лекция 4
1 час 45 минут
Критерии монотонности разностных схем
Критерии монотонности разностных схем (Фридрихса, Годунова, Хартена, Ван Лира). Монотонные по Фридрихсу схемы в пространстве неопределенных коэффициентов (схемы с положительной аппроксимацией). Схемы повышенного порядка аппроксимации для уравнения переноса. Невозможность построения линейных, монотонных по Фридрихсу схем с порядком аппроксимации выше первого (теорема Годунова).
Оглавление
-
Лекция 5
1 час 42 минуты
-
Тест 2
36 минут
-
Лекция 6
1 час 39 минут
Разностные схемы в пространстве сеточных функций
Монотонные по Ван Лиру схемы повышенного порядка аппроксимации в пространстве сеточных функций. Обобщение критериев монотонности на случай многослойных и неявных сеточных шаблонов. Монотонные по Ван Лиру схемы повышенного порядка аппроксимации для многослойных и нерасширяющихся сеточных шаблонов.
-
Лекция 7
1 час 41 минута
-
Лекция 8
1 час 34 минуты
Обобщение разностных схем на многомерный случай
Решение сеточных уравнений в случае неявных схем. Обобщение разностных схем для квазилинейной системы уравнений гиперболического типа на многомерный случай. Методы расщепления по пространственным переменным в случае канонической области интегрирования. Методы на неструктурированных сетках для решения в сложных, в том числе многосвязных областях.
-
Тест 3
36 минут
-
Лекция 9
1 час 46 минут
Квазилинейные параболические уравнения и системы
Расщепление по "физическим процессам". Примеры: автомодельная задача о бегущей волне, одномерные уравнения Навье-Стокса. Постановка краевых задач. Разностные схемы для простейшего уравнения теплопроводности. Условия аппроксимации и устойчивости.
Оглавление
-
Лекция 10
1 час 44 минуты
Разностные схемы для простейшего уравнения теплопроводности
Разностные схемы для простейшего уравнения теплопроводности в пространстве неопределенных коэффициентов. Монотонные схемы (схемы с положительной аппроксимацией) с порядком аппроксимации O(dt,dr^2) и O(dt^2,dr^2). Обобщение разностных схем для уравнения теплопроводности на случай квазилинейных уравнений и систем параболического типа.
-
Лекция 11
1 час 46 минут
Консервативные схемы для уравнений и систем параболического типа
Обобщение разностных схем для квазилинейной системы уравнений параболического типа на многомерный случай. Методы расщепления по пространственным переменным.
-
Тест 4
36 минут
-
Лекция 12
1 час 44 минуты
-
Лекция 13
1 час 37 минут
Некоторые численные методы решения краевых задач для эллиптических уравнений
Простейшее уравнение эллиптического типа и его разностные аппроксимации. Схемы с положительной аппроксимацией в случае регулярных и нерегулярных (неструктурированных) сеток.
-
Лекция 14
1 час 48 минут
Примеры решения модельных и прикладных задач
Системы уравнений гиперболического типа на графах (переходные ударно-волновые процессы в сетях). Примеры сетевых вычислительных моделей: уравнения мелкой воды, интенсивного дорожного движения, электроэнергетических сетей, дыхательной и кровеносной систем человека. Примеры расчетов модельных уравнений различными схемами: явная схема Куранта–Изаксона–Риса и ее консервативные варианты. Схемы П.Лакса, Лакса–Вендроффа, Маккормака, Бима–Уорминга, Русанова, трехслойная схема Головизнина. Неявные схемы Карлсона, Ландау–Меймана–Халатникова, Бабенко. Гибридные схемы и схемы со сглаживанием (Федоренко, Бориса – Бука, TVD-схемы). Высокоточные нелинейные монотонные схемы. Некоторые задачи, моделируемые уравнениями магнитогазодинамики, упруго-деформируемых тел и др.
Оглавление
-
Тест 5
36 минут
-
5 часов
-