Опубликован: 30.11.2010 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева
Лекция 1:

Моделирование многофазных систем массового обслуживания

Лекция 1: 123 || Лекция 2 >
Аннотация: Цель работы: практически освоить методы моделирования двухфазных и трехфазных систем массового обслуживания с нулевой вместимостью блоков ожидания в программных средах MATLAB и GPSS/PC с целью получения операционных характеристик.

Теоретическая часть

Анализ многофазных систем массового обслуживания основан на теоретическом материале, взятом из [20].

Система массового обслуживания может представляться в виде много-фазной модели, когда каждое требование в ней последовательно обслуживается во всех фазах (приборах обслуживания). При этом если очереди перед каждой фазой не допускаются, то система будет называться системой с нулевой вместимостью блоков ожидания [20].

Работа двухфазной системы обслуживания состоит в следующем. Каждая фаза может быть занята на обслуживание либо свободна. Поскольку перед фазой очередь не допускается, то принимается, что первая фаза обслуживания заблокирована, если обслуживание требования в данной (первой) фазе завершено, а вторая фаза не готова к приему требования по той причине, что в ней не закончено обслуживание. Принимается также, что если первая фаза занята, то очередное входящее требование получает отказ. В системе могут быть следующие состояния: "фаза свободна", "фаза занята", "фаза заблокирована", которые обозначают как 0, 1, b соответственно.

1. Двухфазная система обслуживания

Схема двухфазной системы обслуживания показана на рис. 1.1.

Модель двухфазной системы обслуживания

Рис. 1.1. Модель двухфазной системы обслуживания

Если состояние первой фазы обозначить символом i, а состояние второй фазы — символом j, то множество состояний двухфазной системы обслуживания будет следующим:

\{(i, j)\} = \{(0,0), (1,0), (0,1), (1,1), (b,1)\}. ( 1.1)

Примем, что входной поток требований имеет пуассоновское распределение, а обслуживание в фазах осуществляется по экспоненциальному вероятностному закону. Рассматривая вероятности переходов из одного состояния в другое во времени, можно получить следующие дифференциальные уравнения относительно вероятностей состояний p_{ij}(t) двухфазной системы:

\frac{dp_{00}(t)}{dt}=-\lambda p_{00}(t)+\mu p_{01}(t)\\
\frac{dp_{01}(t)}{dt}=-(\mu+\lambda) p_{01}(t)+\mu p_{10}(t)+\mu p_{b1}(t)\\
\frac{dp_{10}(t)}{dt}=\lambda p_{00}(t)-\mu p_{10}(t)+\mu p_{11}(t)\\
\frac{dp_{11}(t)}{dt}=\lambda p_{01}(t)-2\mu p_{11}(t)\\
\frac{dp_{b1}(t)}{dt}=\mu p_{11}(t)-\mu p_{b1}(t) ( 1.2)

Система (1.2) — это система однородных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Ее можно представить в матричном виде:

\frac{dP(t)}{dt}=AP(t),

где:

P(t) — вектор размера 5\times 1 с элементами p_{00}(t), p_{01}(t), p_{10}(t), p_{11}(t), p_{b1}(t) ;

A — матрица коэффициентов размера 5\times 5, которая имеет следующий вид:

A=
\left[ \begin{array}{ccccc} 
-\lambda & \mu & 0 & 0 & 0 \\
0 & -(\mu+\lambda) & \mu & 0 & \mu \\
\lambda & 0 & -\mu & \mu & 0 \\
0 & \lambda & 0 & -2\mu & 0 \\
0 & 0 & 0 & \mu & -\mu \\
\end{array} \right]

Для интегрирования системы (1.2) будем задавать естественные начальные условия, т. е. такие, когда в начальный момент времени, равный нулю, вероятность отсутствия требований в системе равна единице, а остальные вероятности в начальный момент времени равны нулю:

p_{00}(0)=1,\qquad p_{01}(0)=p_{10}(0)=p_{11}(0)=p_{b1}(0)=0 ( 1.3)

2. Трехфазная система обслуживания

В трехфазной системе каждая из фаз может быть свободной (символ 0 ) либо занятой (символ 1 ), а фазы 1 и 2 могут быть к тому же заблокированы (символ b ). Если состояние первой фазы обозначить символом i, состояние второй фазы — символом j, а состояние третьей фазы — символом k, то возможные состояния трехфазной системы будут следующими:

\{(i,j,k)\}=
\left\{ \begin{array}{cccccc} 
(0,0,0) & (1,0,0) & (0,1,0) & (0,0,1) & (1,0,1) & (1,1,1) \\
(1,1,0) & (b,1,0) & (1,b,1) & (b,b,1) & (b,1,1) & (0,b,1)
\end{array} \right\} ( 1.4)

В соответствии с возможными состояниями (1.4) трехфазной системы можно получить следующую систему дифференциальных уравнений 13-го порядка относительно вероятностей состояний p_{ijk}(t):

\frac{dp_{000}(t)}{dt}=-\lambda p_{000}(t)+\mu p_{001}(t),\\
\frac{dp_{100}(t)}{dt}=\lambda p_{000}(t)-\mu p_{100}(t)+\mu p_{101}(t),\\
\frac{dp_{010}(t)}{dt}=\mu p_{100}(t)-(\lambda+\mu) p_{010}(t)+\mu p_{011}(t),\\
\frac{dp_{001}(t)}{dt}=\mu p_{010}(t)-(\lambda+\mu) p_{001}(t)+\mu p_{0b1}(t),\\
\frac{dp_{101}(t)}{dt}=\lambda p_{001}(t)-2\mu p_{101}(t)+\mu p_{110}(t)+\mu p_{1b1}(t),\\
\frac{dp_{011}(t)}{dt}=\mu p_{101}(t)-(\lambda+2\mu) p_{011}(t)+\mu p_{b10}(t)+\mu p_{bb1}(t),\\
\frac{dp_{111}(t)}{dt}=\lambda p_{011}(t)-3\mu p_{111}(t),\\
\frac{dp_{110}(t)}{dt}=\lambda p_{010}(t)+\mu p_{111}(t)-2\mu p_{110}(t),\\
\frac{dp_{b10}(t)}{dt}=\mu p_{110}(t)-\mu p_{b10}(t)+\mu p_{b11}(t),\\
\frac{dp_{1b1}(t)}{dt}=\mu p_{111}(t)-2\mu p_{1b1}(t)+\lambda p_{0b1}(t),\\
\frac{dp_{bb1}(t)}{dt}=\mu p_{1b1}(t)-\mu p_{bb1}(t)+\mu p_{b11}(t),\\
\frac{dp_{b11}(t)}{dt}=\mu p_{111}(t)-2\mu p_{b11}(t),\\
\frac{dp_{0b1}(t)}{dt}=\mu p_{011}(t)-(\lambda+\mu) p_{0b1}(t).\\ ( 1.5)

Система (1.5) — это система обыкновенных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Ее также можно представить в матричном виде:

\frac{dP(t)}{dt}=AP(t),

где:

P(t) — вектор состояний системы 13-го порядка;

А — матрица постоянных коэффициентов размера 13\times 13.

Для решения системы (1.5) будем использовать естественные начальные условия, т. е.

p_{000}(0)=1,\qquad\forall p_{ijk}(0)=0,\qquad i=0,1,b,\qquad j=0,1,b,\qquad k=0,1,b. ( 1.6)

Отметим также, что система линейных дифференциальных уравнений будет иметь нетривиальное решение, если ее характеристический определитель будет равен нулю. В матричном виде получаем так называемое характеристическое уравнение

det[sE-A]=0, ( 1.7)

где:

Еединичная матрица того же размера, что и матрица коэффициентов А ;

s — скалярная в общем случае комплексная переменная, относительно которой решается характеристическое уравнение.

Если действительная часть корней характеристического уравнения (1.7) будет отрицательной, то решение системы дифференциальных уравнений (1.5) с начальными условиями (1.6) будет устойчивым, т. е. будет стремиться к установившимся значениям.

Таким образом, система дифференциальных уравнений (1.5) с начальными условиями (1.6) представляет собой математическую модель трехфазной системы массового обслуживания с нулевой вместимостью блоков ожидания.

Схема трехфазной системы обслуживания показана на рис. 1.2.

Модель трехфазной  системы обслуживания

Рис. 1.2. Модель трехфазной системы обслуживания
Лекция 1: 123 || Лекция 2 >
Мария Ястребинская
Мария Ястребинская

Добрый день. Я приступила сегодня к самостоятельному изучению курса "Моделирование систем". Хочу понять - необходимо ли отсылать мои решения практических заданий на сайт, (и если да - то где найти волшебную кнопку "Загрузить...") или практические задания остаются полностью на моей совести? (никто не проверяет, и отчётности по ним я предоставлять не обязана?)

P.S.: тьютора я не брала

алена зянтерекова
алена зянтерекова
Дмитрий Степаненко
Дмитрий Степаненко
Россия
Маржан Мукынова
Маржан Мукынова
Россия, Новосибирск