Производящие функции
В комбинаторных задачах на подсчет числа объектов при наличии
некоторых ограничений искомым решением часто является последовательность , где - число искомых
объектов "размерности" . Например, если мы ищем число
разбиений числа, то можем принять , если ищем число подмножеств -элементного множества, то и т.д. В этом случае удобно
последовательности , поставить в соответствие
формальный ряд
|
(
8.12)
|
называемый
производящей
функцией для данной последовательности.
Название
формальный
ряд для данной последовательности означает,
что (8.12) мы трактуем только как удобную
запись нашей последовательности
- в данном случае несущественно, для каких (действительных или
комплексных) значений переменной
он сходится. Поэтому мы
никогда не будем вычислять
значение такого ряда для конкретного значения переменной
, мы будем только выполнять некоторые
операции на таких рядах, а
затем определять
коэффициенты при отдельных степенях переменной
. Для
произвольных рядов
мы определим операцию сложения:
|
(
8.13)
|
операцию умножения на число (действительное или комплексное):
|
(
8.14)
|
и
произведение Коши
|
(
8.15)
|
где
|
(
8.16)
|
Если
для
, то ряд (8.12) будем
отождествлять с многочленом
.
Из математического анализа известно, что если ряд (8.12) сходится в
некоторой окрестности нуля, то его сумма
является аналитической
функцией в этой окрестности и
|
(
8.17)
|
(
обозначает
значение -й производной
функции
для
; ряд 8.12 - это не что иное, как ряд Маклорена функции
). Более того, когда
являются аналитическими функциями в
окрестности нуля, то формулы (8.13)-(8.16) будут справедливы, если
трактовать как значения функций
в
точке
, а ряды понимать в обычном смысле, т.е. так, как в математическом анализе. Это
сохраняющее
операции взаимно однозначное соответствие между рядами,
сходящимися в окрестности нуля, и функциями, аналитическими в окрестности
нуля, позволяет отождествить
формальный ряд (8.12) с определенной через
него аналитической функцией в случае рядов, сходящихся в окрестности нуля
(несмотря на то, что ряды мы будем трактовать всегда как формальные ряды,
то есть только как формальную
запись их коэффициентов). Таким образом,
будем писать, например,
и т.д.