Опубликован: 16.01.2014 | Уровень: для всех | Доступ: платный
Лекция 3:

Качественные изменения свойств при переходе к наноразмерным элементам

Изменения энергетического спектра

В случае квантовых размерных эффектов, когда размеры элементов становятся меньше длины волны де Бройля \lambda_{\textit{ДБ}}, носители электрического заряда уже в принципе нельзя рассматривать как классические частицы, а обязательно надо учитывать их волновую природу, т.е. описывать их методами квантовой механики.

Главными квантово-размерными эффектами являются:

  • изменение энергетического спектра носителей электрического заряда;
  • возможность их туннельного проникновения сквозь потенциальный барьер и
  • явления квантовой интерференции.

Квантовая плоскость

Физическую суть изменения энергетического спектра носителей электрического заряда покажем сначала на примере идеальной "квантовой плоскости". В этом случае электрон находится в узкой (шириной l<\lambda_{\textit{ДБ}}) очень глубокой "потенциальной яме" прямоугольной формы ( рис. 3.3, слева), которая математически описывается выражением


U(x)=
\left\{
\begin{aligned}
0\text{ при }|x|\leq l/2; \\
\infty\text{ при }|x|> l/2.
\end{aligned}
\right.
( 3.6)

От других двух пространственных координат (y и z) потенциал U не зависит.

В этом идеализированном случае решение задачи Коши для уравнения Шредингера известно и имеет вид:


\Psi(x,y,z,t)=\psi(x)e^{i(k_Yy+k_Zz-\omega t)},
( 3.7)
где

\left\{
\begin{aligned}
&\psi(x)=A\cos\left(\frac{\pi xn}{l}\right),\text{ когда }n\text{ нечетное и }|x|\leq l/2;\\
&\psi(x)=A\sin\left(\frac{\pi xn}{l}\right),\text{ когда }n\text{ четное и } |x|\leq l/2;\\
&\psi(x)=0\text{ при }|x|>l/2;
\end{aligned}
\right.
( 3.8)

A – постоянный множитель, который определяется из условия нормировки волновой функции.

Решение существует только при целых (натуральных) значениях квантового числа n.

Слева – форма потенциальной ямы. В центре – вид компонент волновой функции, зависящих от координаты х. Справа – зависимость энергии электрона проводимости от импульса p

Рис. 3.3. Слева – форма потенциальной ямы. В центре – вид компонент волновой функции, зависящих от координаты х. Справа – зависимость энергии электрона проводимости от импульса p

Это означает, что x-компонента волнового вектора \overrightarrow{k} электрона и соответствующая компонента его импульса p_X могут принимать лишь определенные значения:


k_X=\frac{\pi n}{l};\quad p_X=\hbar k_X;\quad n=1,2,3...
( 3.9)
В таких случаях говорят, что они "квантуются". Графики функции \psi(x) для трех первых значений квантового числа n показаны на рис. 3.3 в центре. На ширине l потенциальной ямы при этом укладывается точно n полуволн.

Компоненты волнового вектора k_Y и k_Z и соответствующие компоненты импульса электрона p_Y и p_Z остаются не квантованными, т.е. могут принимать непрерывный набор значений. Кинетическая энергия электрона в потенциальной яме при разных значениях квантового числа n (в разных квантовых состояниях) равняется


E_n=\frac{p^2}{2m}=\frac{p_X^2+p_=^2}{2m}=E_1n^2+\frac{p_=^2}{2m};\quad E_1=\frac{h^2}{8ml^2},
( 3.10)
где m – эффективная масса электрона; p_=\sqrt{p_Y^2+p_Z^2} – компонента импульса электрона, параллельная квантовой плоскости; h – постоянная Планка; E_1 – минимальная энергия электрона в потенциальной яме. Когда электрон не движется вдоль квантовой плоскости (p_==0), он имеет энергию E_1 и представляет собой стоячую волну с пучностью при х=0.

Энергетический спектр электрона показан на рис. 3.3 справа. Вдоль вертикали здесь отложена кинетическая энергия электрона, находящегося в квантовой плоскости, вдоль горизонтали – компонента p_= его импульса. Энергетические уровни E_1, E_2 и E_3 – это энергии электрона при p_==0 в состояниях с квантовым числом n=1,2,3. Когда электрон приходит в движение вдоль квантовой плоскости, его энергия непрерывно возрастает пропорционально p_=^2, и поэтому графики зависимости E(p_=) представляют собой параболы, точнее говоря, параболоиды вращения.

Если средняя тепловая энергия электрона проводимости (при температурах ~300 К она составляет ~0,026 эВ = 26 мэВ) меньше чем \Delta E=E_2-E_1, то при рассеяниях на неоднородностях он никак не сможет перейти из состояния n=1 в состояние n=2 и, следовательно, не может изменить компоненту p_X своего импульса. При рассеяниях изменяются лишь компоненты импульса p_Y и p_Z, т.е. электрон в квантовой плоскости ведет себя как двумерная частица-волна, способная двигаться лишь в пределах этой плоскости. Именно поэтому совокупность электронов проводимости внутри квантовой плоскости часто называют "двумерным электронным газом".

Одним из примеров реализации "квантовой плоскости" может служить гетероэпитаксиальная структура AlGaAs – GaAs – AlGaAs, полученная методом молекулярно-лучевой эпитаксии. Здесь тонкий слой узкозонного полупроводника GaAs толщиной менее 30 нм находится между областями широкозонного полупроводника AlGaAs ( рис. 3.4).


Рис. 3.4.

Другими примерами являются тонкий (<7 нм) канал кремниевого полевого транзистора или сверхтонкая (толщиной в несколько нанометров) металлическая пленка между слоями диэлектрика.

Конечно, в реальных гетероструктурах невозможно реализовать идеально прямоугольную потенциальную яму с бесконечно высокими стенками. А для реальных профилей потенциальных ям (на рис. 3.4 профиль показан сплошной линией) аналитически решить квантово-механическую задачу не удается. Однако она успешно решается с помощью числовых методов на компьютерах. И общие закономерности, описанные выше для идеальной квантовой плоскости, (квантование, "двумерное поведение носителей заряда" и т.п.) в целом подтверждаются. Но имеются и важные отличия. Из-за ограниченной глубины потенциальной ямы оказывается ограниченным и число допустимых значений квантового числа n, т.е. количество дискретных энергетических уровней в "яме" (как правило, 2-5). И, что важно, волновые функции не обращаются в нуль на границе потенциальной ямы. А это означает, что имеется определенная вероятность пребывания электрона в окрестности потенциальной ямы, т.е. там, где по классическим представлениям электрон не может находиться.

Ольга Клюева
Ольга Клюева

Некорректно сформулированные задания. Нужна помощь в выполнении

Несибели Спандияр
Несибели Спандияр
Казахстан, Алматы, КазНАУ
Юлия Яцуненко
Юлия Яцуненко
Россия, г. Махачкала