Опубликован: 03.04.2013 | Уровень: для всех | Доступ: платный
Лекция 5:

Нейрофизиологический и формально-логический базис нейроподобных вычислений

4.7. Теоретико-групповая модель формального нейрона как операционное ядро компиляции на квантовый уровень организации вычислений

За всю историю развития вычислительной техники интерес к нейро-компьютерным технологиям возрастал каждый раз, когда наступал либо застой в архитектурных решениях ЭВМ, либо прогресс в элементной базе. Современный повышенный интерес к нейрокомпьютерным технологиям [84, 87-89] фактически совпал по времени с наметившимся прорывом в области нанотехнологий, где в качестве "рабочего тела" выступают квантовые системы различной степени сложности: от одноэлектронных транзисторов [92, 93] и до квантовых компьютеров [94]. Схемотехнический парадокс традиционной нейроподобной элементной базы [68] вызван тем, что в этом случае логические функции реализуются через арифметические. Это предопределяет повышенные затраты традиционных логических вентилей, которые сначала расходуются на реализацию арифметических преобразований формальных нейронов и только после этого на реализацию логических преобразований блоков и устройств вычислительной техники, построенных на формальных нейронах. Объединение возможностей нейрокомпью-терных программных [88] и нанотехнологических [95] инструментальных платформ позволяет преодолеть или хотя бы ослабить последствия этого парадокса за счет прямого отображения функций пользователя на квантовые системы, фундаментальные свойства которых определяются и описываются

различными группами симметрий [96]. Так, правила отбора [97] задают возможные квантовые переходы для атомов, молекул, взаимодействующих элементарных частиц и т. д. Эти правила напрямую связаны с симметрией квантовых систем, с помощью которой определяют неизменные (инвариантные) свойства этих систем при определенных преобразованиях координат и времени. В частности, в квантовой механике допустимы только те переходы из одного состояния в другое, которые не нарушают законы сохранения энергии, импульса, электрического заряда и т. д.

Переход к теоретико-групповым моделям формальных нейронов позволяет сохранить традиционную схему кремниевой компиляции [98, 99] на основе библиотек "стандартных элементов", которые в данном случае должны реализовать не булевы функции, а "элементарные группы симметрий". Поэтому нейрокомпилятор должен представить задание пользователя в фиксированном теоретико-групповом операционном базисе, реализуемом на технологическом уровне производства и эксплуатации компьютеров с нано- или супрамолекулярной элементной базой. Отсюда и встает задача доказательства не только возможности, но и эффективности использования теоретико-групповых моделей классических (много)поро-говых элементов в задачах оптимального синтеза нейроподобных ЭВМ. При этом совершенно безразлично, в каком операционном базисе будет работать ЭВМ с нано- или супрамолекулярной элементной базой, так как нейроподобный операционный базис фактически используется и на уровне "элементарных действий" ЭВМ классических архитектур (см. "Теория вычислений и машины Тьюринга" ).

Учитывая быстрое нарастание размерности задач оптимального синтеза (много)пороговых моделей до гиперкомбинаторной, ограничим конкретные примеры и характеристики теоретико-групповой модели классом булевых функций от n \le 4 переменных [100].

Для булевых функций параметры (М)ПМ (4.4) принимают значения x_i^s \in \{0,1\} ; Q=2^n-1 ; f_s \in \{0,1\}\,\alpha = \overline{0,(2^{2^n}-1)}, и поэтому оператор линейной свертки можно записать:

l_{s}(X^{s}_{n},W_{n}) = \sum_i{w_{i}}, ( 4.27)

где суммирование ведется по тем i, для которых х^s_i = 1, то есть в случае булевых функций входной вектор X^{s}_{n} используется как "маска", определяющая правило "ассоциативного" суммирования компонент весового вектора \{w_i \}.

Не изменяя значений конечного множества весовых коэффициентов \{w_i\}, их можно расположить в произвольном порядке (по i ) над компонентами входного вектора \{х_i^s\}, что соответствует группе подстановок N_i (порядок группы | N_i | = n!). В результате изменятся правила суммирования весовых коэффициентов в (4.27), что индуцирует изоморфную группу подстановок N_s значений свертки l_{s}, а вместе с ними и индексов s на скалярной оси L. Например, при n = 3 (табл. 4.8) получим 6 подстановок индексов s в упорядоченной по возрастанию последовательности значений свертки \{\hat{l}_{s}\}, из которых одна соответствует лексикографическому порядку s:= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Таблица 4.8. Группа подстановок Ns для n = 3
s x_3 x_2 x_1 w_3 = 4,\\
w_2=2, \\ w_1= 1 w_3 = 4,\\
w_2=1, \\ 
w_1= 2 w_3 = 2,\\
w_2=4, \\ 
w_1= 1 w_3 = 2,\\
w_2=1, \\ 
w_1= 4 w_3 = 1,\\
w_2=4, \\ 
w_1= 2 w_3 = 1,\\
w_2=2, \\ 
w_1= 4
\{l_s\} \{l_s\} \{\hat{l}_s\} \{l_s\} \{\hat{l}_s\} \{l_s\} \{\hat{l}_s\} \{l_s\} \{\hat{l}_s\} \{l_s\} \{\hat{l}_s\}
0 0 0 0 l_0=0 l_0=0 l_0=0 l_0=0 l_0=0 l_0=0 l_0=0 l_0=0 l_0=0 l_0=0 l_0=0
1 0 0 1 l_1=1 l_1=2 l_1=1 l_1=1 l_1=1 l_1=4 l_1=1 l_1=2 l_4=1 l_1=4 l_4=1
2 0 1 0 l_2=2 l_2=1 l_1=2 l_2=4 l_4=2 l_2=1 l_4=2 l_2=4 l_1=2 l_2=2 l_2=2
3 0 1 1 l_3=3 l_3=3 l_3=3 l_3=5 l_5=3 l_3=5 l_6=3 l_3=6 l_5=3 l_3=6 l_6=3
4 1 0 0 l_4=4 l_4=4 l_4=4 l_4=2 l_2=4 l_4=2 l_1=4 l_4=1 l_2=4 l_4=1 l_1=4
5 1 0 1 l_5=5 l_5=6 l_6=5 l_5=3 l_3=5 l_5=6 l_3=5 l_5=3 l_6=5 l_5=5 l_5=5
6 1 1 0 l_6=6 l_6=5 l_5=6 l_6=6 l_6=6 l_6=3 l_5=6 l_6=5 l_3=6 l_6=3 l_3=6
7 1 1 1 l_7=7 l_7=7 l_7=7 l_7=7 l_7=7 l_7=7 l_7=7 l_7=7 l_7=7 l_7=7 l_7=7

Группа инверсии знаков Z_{i} ( |Z_{i}| = 2^{n}) при неизменных абсолютных значениях компонент весового вектора \{\pm w_{i} \} индуцирует изоморфную группу подстановок Z_{s} (табл. 4.9) значений свертки l_{s}, а с ними и индексов s на скалярной оси L.

Таблица 4.9. Группа подстановок Zs для n = 3
s x_3 x_2 x_1 w_3 = 4,\\ w_2=2, \\ w_1= 1 w_3 = 4,\\w_2=2, \\ w_1=-1 w_3 = 4,\\w_2=-2, \\ w_1= 1 w_3 = 4,\\w_2=-2, \\ w_1= -1
\{l_s\} \{l_s\} \{\hat{l}_s\} \{l_s\} \{\hat{l}_s\} \{l_s\} \{\hat{l}_s\}
0 0 0 0 l_0=0 l_0=0 l_1=-1 l_0=0 l_2=-2 l_0=0 l_3=-3
1 0 0 1 l_1=1 l_1=-1 l_0=0 l_1=1 l_3=-1 l_1=-1 l_2=-2
2 0 1 0 l_2=2 l_2=2 l_2=1 l_2=-2 l_0=0 l_2=-2 l_2=-1
3 0 1 1 l_3=3 l_3=1 l_2=2 l_3=-1 l_1=1 l_3=-3 l_0=0
4 1 0 0 l_4=4 l_4=4 l_5=3 l_4=4 l_6=2 l_4=4 l_7=1
5 1 0 1 l_5=5 l_5=3 l_4=4 l_5=5 l_7=3 l_5=3 l_6=2
6 1 1 0 l_6=6 l_6=6 l_7=5 l_6=2 l_4=4 l_6=2 l_5=3
7 1 1 1 l_7=7 l_7=5 l_6=6 l_7=3 l_5=5 l_7=1 l_4=4

На основе данных таблиц 4.8 и 4.9 можно сформировать подстановки индексов s, которые отвечают прямому произведению групп D = Z*N. Элементы групп D_{s} индуцируются элементами группы переименования переменных D_i = Z*N_i ( | D_{i} | = 2^n* n !).

Как показано в разделе 4.7, в непрерывной группе вращений весового вектора W_n имеется еще один источник подстановок значений свертки l_{s}, а вместе с ними и индексов s на скалярной оси L , который связан с инверсией отношения "больше-меньше" между различными комбинациями значений компонент весового вектора \{w_i\}. Чтобы получить множество подстановок этого типа, достаточно наложить ограничение w_n > w_{n-1} > … > w_1 > 0. Тогда при n = 3 между значениями компонент весового вектора могут установиться отношения w_3  > (w_2+w_1 ) и w_3  < (w _{2}+w _{1}).

В результате преобразование (4.27) компонент весового вектора W_3 порождает группу подстановок \Omega_{3} из двух элементов: тождественная подстановка с лексикографическим порядком следования индексов s:=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (Lex ) и подстановка вида s:=0, 1, 2, 4, 3, 5, 6, 7. Прямое произведение групп \Omega_3 *Z_3 также является группой подстановок порядка |\Omega_3 | * | Z_3 | (совокупность подстановок таблиц 4.9 и 4.10).

Продолжение табл. 4.9

s x_3 x_2 x_1 w_3 = -4,\\ w_2=2, \\ w_1= 1 w_3 = -4,\\w_2=2, \\ w_1=-1 w_3 = -4,\\w_2=-2, \\ w_1= 1 w_3 = -4,\\w_2=-2, \\ w_1= -1
\{l_s\} \{\hat{l}_s\} \{l_s\} \{\hat{l}_s\} \{l_s\} \{\hat{l}_s\} \{l_s\} \{\hat{l}_s\}
0 0 0 0 l_0= 0 l_4=-4 l_0= 0 l_5=-5 l_0= 0 l_6=-6 l_0= 0 l_7=-7
1 0 0 1 l_1= 1 l_5=-3 l_1=-1 l_4=-4 l_1= 1 l_7=-5 l_1=-1 l_6=-6
2 0 1 0 l_2= 2 l_6=-2 l_2= 2 l_7=-3 l_2= 2 l_4=-4 l_2=-2 l_5=-5
3 0 1 1 l_3= 3 l_7=-1 l_3= 1 l_6=-2 l_3=-1 l_5=-3 l_3=-3 l_3=-4
4 1 0 0 l_4=-4 l_0= 0 l_4=-4 l_1=-1 l_4=-4 l_2=-2 l_4=-4 l_3=-3
5 1 0 1 l_5=-3 l_1= 1 l_5=-5 l_0= 0 l_5=-3 l_3=-1 l_5=-5 l_2=-2
6 1 1 0 l_6=-2 l_2= 2 l_6=-2 l_3= 1 l_6=-6 l_0= 0 l_6=-6 l_1=-1
7 1 1 1 l_7=-1 l_3= 3 l_7=-3 l_2= 2 l_7=-5 l_1= 1 l_7=-7 l_0= 0

Таким образом, для достоверной оценки функций качества (4.6) и (4.7) в случае n = 3 необходимо иметь всего два образующих весовых вектора W _{3} = (4, 2, 1) и W _{3} = (4, 3, 2). Остальные весовые вектора являются производными и их можно получить перестановками и инверсиями знаков целочисленных компонент, которые и порождают все многообразие подстановок индексов s, напрямую влияющих на размерность вектора порогов, а значит, и на численные значения функций качества (4.6) и (4.7).

Таблица 4.10. Вторая часть группы подстановок Omega3*Zs для n = 3
s x_3 x_2 x_1 w_3 = 4,\\w_2= 3, \\ w_1= 2 w_3 = 4,\\w_2= 3, \\ w_1=-2 w_3 = 4,\\w_2=-3, \\ w_1= 2 w_3 = 4,\\w_2=-3, \\ w_1=-2
\{l_s\} \{\hat{l}_s\} \{l_s\} \{\hat{l}_s\} \{l_s\} \{\hat{l}_s\} \{l_s\} \{\hat{l}_s\}
0 0 0 0 l_0= 0 l_0= 0 l_0= 0 l_1=-2 l_0= 0 l_2=-3 l_0= 0 l_3=-5
1 0 0 1 l_1= 2 l_1= 2 l_1=-2 l_0= 0 l_1= 2 l_3=-1 l_1=-2 l_2=-3
2 0 1 0 l_2= 3 l_2= 3 l_2= 3 l_3= 1 l_2=-3 l_0= 0 l_2=-3 l_1=-2
3 0 1 1 l_3= 5 l_4= 4 l_3= 1 l_5= 2 l_3=-1 l_6=1 l_3=-5 l_7=-1
4 1 0 0 l_4= 4 l_3= 5 l_4= 4 l_2= 3 l_4= 4 l_1= 2 l_4= 4 l_0= 0
5 1 0 1 l_5= 6 l_5= 6 l_5= 2 l_4= 4 l_5= 6 l_7= 3 l_5= 2 l_6= 1
6 1 1 0 l_6= 7 l_6= 7 l_6= 7 l_7= 5 l_6= 1 l_4= 4 l_6= 1 l_5= 2
7 1 1 1 l_7= 9 l_7= 9 l_7= 5 l_6= 7 l_7= 3 l_5= 6 l_7=-1 l_4= 4

Поэтому на этапе абстрактного синтеза (много)пороговых моделей оператор линейной свертки с непрерывными значениями весовых коэффициентов можно заменить конечной группой преобразований \Psi= \Omega_{3}*Z_{s}*N_{s}, которая представляет собой прямое произведение следующих групп: подстановок индексов s, индуцированных оператором (4.27), ассоциативного суммирования компонент весового вектора \{w_{i} \} с отношением "больше-меньше", группой инверсий знака и группой подстановок (по индексу i ) множества компонент весового вектора.

Продолжение табл. 4.10

s x_3 x_2 x_1 w_3 =-4,\\w_2= 3, \\ w_1= 2 w_3 =-4,\\w_2= 3, \\ w_1=-2 w_3 =-4,\\w_2=-3, \\ w_1= 2 w_3 =-4,\\w_2=-3, \\ w_1=-2
\{l_s\} \{\hat{l}_s\} \{l_s\} \{\hat{l}_s\} \{l_s\} \{\hat{l}_s\} \{l_s\} \{\hat{l}_s\}
0 0 0 0 l_0= 0 l_4=-4 l_0= 0 l_5=-6 l_0= 0 l_6=-7 l_0= 0 l_7=-9
1 0 0 1 l_1= 2 l_5=-2 l_1=-2 l_4=-4 l_1=-4 l_7=-5 l_1=-2 l_6=-7
2 0 1 0 l_2= 3 l_6=-1 l_2= 3 l_7=-3 l_2=-3 l_4=-4 l_2=-3 l_5=-6
3 0 1 1 l_3= 5 l_0= 0 l_3= 1 l_1=-2 l_3=-1 l_2=-3 l_3=-5 l_3=-5
4 1 0 0 l_4=-4 l_7= 1 l_4=-4 l_6=-1 l_4=-4 l_5=-2 l_4=-4 l_4=-4
5 1 0 1 l_5=-2 l_1= 2 l_5=-6 l_0= 0 l_5=-2 l_3=-1 l_5=-6 l_2=-3
6 1 1 0 l_6=-1 l_2= 3 l_6=-1 l_3= 1 l_6=-7 l_0= 0 l_6=-7 l_1=-2
7 1 1 1 l_7= 1 l_3= 5 l_7=-3 l_2= 2 l_7=-5 l_1= 2 l_7=-9 l_0= 0

Для n = 4 множество \Omega_4 трансформируется в дистрибутивную структуру, которая представляет собой теоретико-множественное объединение 13 двухэлементных групп подстановок, каждая из которых содержит тождественную и обратную по отношению к себе подстановки. Теоретико-множественное пересечение всех двухэлементных групп дистрибутивной структуры \Omega_4 содержит единственную тождественную подстановку

Максим Брагута
Максим Брагута
Россия, Москва, МЭИ, 2006
Nozimjon Fayziev
Nozimjon Fayziev
Таджикистан, Душанбе