Опубликован: 16.11.2010 | Уровень: специалист | Доступ: платный
Лекция 6:

Обработка результатов имитационного эксперимента

На практике часто ограничиваются обобщенными оценками адекватности построенной модели: величиной среднего абсолютного отклонения

\varepsilon=\cfrac{\sum\limits_{l=1}^N{(|y_l -\overline{y}_l|)}}{N},

или (и) величиной среднеквадратической ошибки на единицу веса

\varepsilon_0=\sqrt{\cfrac{\sum\limits_{l=1}^N{(|y_l -\overline{y}_l|)}}{N-(n+1)}},\,\,\,N>(n+1)

Весом или степенью свободы эксперимента называют разность N - (n+1) между числом наблюдений N и числом коэффициентов регрессии (n +1).

Предположим, что линейная модель y = 6.68- 3.48x_{1} недостаточно точно отображает связь между фактором x_{1} и откликом y .

Введем в рассмотрение более сложную нелинейную модель:

\overline{y}=b_0+b_1x_1+b_2x_1^2

Для определения коэффициентов регрессии b_{0},b_{1},b_{2} обозначим x_{1}^{2} =x_{2} и получим двухфакторную линейную модель:

\overline{y}=b_0+b_1x_1+b_2x_2

В этом случае уравнение (5.3) раскрывается так:

\left \{ \begin{array}{l}
\sum{y_lx_{0l}}=b_0\sum{x_{0l} x_{0l}}+ b_1\sum{x_{1l} x_{0l}}+ b_2\sum{x_{2l} x_{0l}},\\
\sum{y_lx_{11}}=b_0\sum{x_{0l} x_{1l}}+ b_1\sum{x_{1l} x_{1l}}+ b_2\sum{x_{2l} x_{1l}},\\
\sum{y_lx_{21}}=b_0\sum{x_{0l} x_{2l}}+ b_1\sum{x_{1l} x_{2l}}+ b_2\sum{x_{2l} x_{2l}},
\end{array}

В уравнениях принято: \sum=\sum\limits_{l=1}^{N}

Так как x_{0l} _{}=1, x_{2l} = x_{1l}^{2}, то система принимает вид:

\left \{ \begin{array}{l}
\sum{y_l}=b_0N+ b_1\sum{x_{1l}}+ b_2\sum{x_{2l}},\\
\sum{y_lx_{11}}=b_0\sum{x_{1l}}+ b_1\sum{x_{1l}^2}+ b_2\sum{x_{1l}^3},\\
\sum{y_lx_{11}^2}=b_0\sum{x_{1l}^2}+ b_1\sum{x_{1l} ^3}+ b_2\sum{x_{1l}^4},
\end{array}

Подставим значения фактора и отклика из табл. 5.10:

\left \{ \begin{array}{l}
16=5b_0+5b_1+7.5b_2,\\
7.3=5b_0+7.5b_1+12.5b_2,\\
7.15=7.5b_0+12.5b_1+22.125b_2,\\
\end{array}

Решим систему из трех уравнений с тремя неизвестными и получим: b_{0} = 7, b _{1}= -4,74, b_{2} = 0,63.

Таким образом, получено новое уравнение регрессии:

\overline{y} = 7-4,74x_{1}+0,63x_{1}^{2}.

По значениям \varepsilon и \varepsilon_{0} нетрудно убедиться в том, что нелинейная модель более точно отображает моделируемый процесс (см. табл. 5.10), чем линейная.

В рассмотренном примере ошибка модели определялась по тем же данным, по которым и была определена сама модель. Однако при сокращенных планах экспериментов (см. п. 4.3) можно выполнить все или часть "сэкономленных" наблюдений для получения так называемых проверочных данных, которые и использовать для вычисления ошибки \varepsilon или \varepsilon_{0}. В этом случае оценка адекватности модели будет более объективна, хотя число наблюдений в эксперименте увеличивается, и экономии их не будет.

По уравнению регрессии можно сделать ориентировочную оценку чувствительности отклика к изменению того или иного фактора. Например, в уравнении \overline{y} = 50.5x _{1} +0.74x_{2} -28.3x_{3} влияние фактора x_{2} на отклик незначительно по сравнению с другими, так как коэффициент b_{2} = 0.74 намного меньше остальных коэффициентов.

В программном пакете MS Excel есть функция "Регрессия", которая может выполнить всесторонний регрессионный анализ данных компьютерного эксперимента.

Пример 5.9. В ремонтное подразделение поступают вышедшие из строя средства связи (СС) с интервалами времени, подчиненными показательному закону с математическим ожиданием t. В каждом СС могут быть неисправными в любом сочетании блоки A, B, C с вероятностями P _{1A}, P_{1B}, P_{1C} соответственно. Ремонтное подразделение ремонтирует СС путем замены неисправных блоков исправными блоками. В момент поступления неисправного СС в ремонтное подразделение вероятности наличия в нем исправных блоков A, B, C, D соответственно P_{2A}, P_{2B} , P_{2C} , P_{2D} . Наличие и замена блока D обязательно при любом сочетании неисправных блоков.

Построить имитационную модель "Система ремонта" с целью определения вероятности ремонта СС с неисправными блоками C, D и A, B, D за время T_{0}. По результатам эксперимента получить уравнение регрессии, связывающее вероятность ремонта СС с вероятностями P_{1B}, P_{1C} ,P_{2B} , P_{2C}, P_{2D} .

Решение

Постановка примера 5.9 аналогична постановке примера 3.8. Отличие состоит в том, что введен фактор времени - интервалы поступления неисправных СС. Это учтено в модели, при разработке которой использовался алгоритм примера 3.8 (см. рис. 3.18).

Для построения уравнения регрессии введем обозначения:

y - отклик модели, вероятность ремонта СС с неисправными блоками C, D и A, B, D за время T_{0} ;

x_{1} - фактор, представляющий вероятность P1B ;

x_{2} - фактор, представляющий вероятность P1С ;

x_{3} - фактор, представляющий вероятность P2B ;

x_{4} - фактор, представляющий вероятность P2С ;

x_{5} - фактор, представляющий вероятность P2D.

Исходные данные и результаты эксперимента с моделью в количестве 32 наблюдений приведены в табл. 5.12. По этим данным функция "Регрессия" из MS Excel сформировала искомое уравнение:

\overline{y} = -0,52287+0,044568x_{1} + 0,270679x_{2} + 0,048634x_{3} +\\
+0,559089x_{4} + 0,387762x_{5}
Таблица 5.12. Результаты эксперимента с моделью "Система ремонта"
№ отклика Y P1B P1C P2B P2C P2D
1 0,088 0,3 0,55 0,5 0,2 0,65
2 0,127 0,3 0,55 0,5 0,2 0,95
3 0,303 0,3 0,55 0,5 0,8 0,65
4 0,442 0,3 0,55 0,5 0,8 0,95
5 0,099 0,3 0,55 0,9 0,2 0,65
6 0,146 0,3 0,55 0,9 0,2 0,95
7 0,317 0,3 0,55 0,9 0,8 0,65
8 0,46 0,3 0,55 0,9 0,8 0,95
9 0,116 0,3 0,85 0,5 0,2 0,65
10 0,167 0,3 0,85 0,5 0,2 0,95
11 0,445 0,3 0,85 0,5 0,8 0,65
12 0,653 0,3 0,85 0,5 0,8 0,95
13 0,12 0,3 0,85 0,9 0,2 0,65
14 0,175 0,3 0,85 0,9 0,2 0,95
15 0,452 0,3 0,85 0,9 0,8 0,65
16 0,66 0,3 0,85 0,9 0,8 0,95
17 0,118 0,3 0,55 0,5 0,2 0,65
18 0,173 0,9 0,55 0,5 0,2 0,95
19 0,336 0,9 0,55 0,5 0,8 0,65
20 0,486 0,9 0,55 0,5 0,8 0,95
21 0,158 0,9 0,55 0,9 0,2 0,65
22 0,228 0,9 0,55 0,9 0,2 0,95
23 0,373 0,9 0,55 0,9 0,8 0,65
24 0,544 0,9 0,55 0,9 0,8 0,95
25 0,127 0,9 0,85 0,5 0,2 0,65
26 0,184 0,9 0,85 0,5 0,2 0,95
27 0,457 0,9 0,85 0,5 0,8 0,65
28 0,67 0,9 0,85 0,5 0,8 0,95
29 0,137 0,9 0,85 0,9 0,2 0,65
30 0,201 0,9 0,85 0,9 0,2 0,95
31 0,471 0,9 0,85 0,9 0,8 0,65
32 0,689 0,9 0,85 0,9 0,8 0,95

Кроме вычисленных оценок коэффициентов регрессии функция "Регрессия" выдает также результаты регрессионного анализа (табл. 5.13): вычисленные значения откликов y , разность между ними и измеренными в эксперименте в каждом наблюдении y-\overline{y}, среднеквадратические ошибки в определении коэффициентов регрессии S_{x} и откликов при определенных значениях факторов S_{y} и некоторые другие.

Таблица 5.13. Результаты регрессионного анализа
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика
Y -пересечение -0,52287 0,083821 -6,23787
Переменная X1 0,044568 0,034409 1,295248
Переменная X2 0,270679 0,068279 3,964334
Переменная X3 0,048634 0,051209 0,949722
Переменная X4 0,559089 0,034139 16,37673
Переменная X5 0,387762 0,068279 5,679123
Наблюдение Предсказанное Y Остатки Стандартные остатки
1 0,027558 0,060442 1,141425
2 0,143886 -0,01689 -0,31889
3 0,363011 -0,06001 -1,13329
4 0,47934 -0,03734 -0,70515
5 0,047011 0,051989 0,981781
6 0,16334 -0,01734 -0,32746
7 0,382465 -0,06547 -1,23628
8 0,498794 -0,03879 -0,7326
9 0,108761 0,007239 0,136697
10 0,22509 -0,05809 -1,09701
11 0,444215 0,000785 0,014822
12 0,560544 0,092456 1,745995
13 0,128215 -0,00822 -0,15514
14 0,244544 -0,06954 -1,31331
15 0,463669 -0,01167 -0,22036
16 0,579998 0,080002 1,510813
17 0,027558 0,090442 1,707963
18 0,170627 0,002373 0,044804
19 0,389752 -0,05375 -1,01509
20 0,506081 -0,02008 -0,37922
21 0,073752 0,084248 1,590978
22 0,190081 0,037919 0,716081
23 0,409206 -0,03621 -0,68374
24 0,525535 0,018465 0,348706
25 0,135502 -0,00850 -0,16057
26 0,251831 -0,06783 -1,28096
27 0,470956 -0,01396 -0,26356
28 0,587285 0,082715 1,56204
29 0,154956 -0,01796 -0,33909
30 0,271285 -0,07028 -1,3273
31 0,490410 -0,01941 -0,36655
32 0,606739 0,082261 1,553472

Пример 5.10. На узел связи поступают заявки на передачу сообщений. Интервалы времени поступления заявок подчинены показательному закону с математическим ожиданием T _{1} . На узле связи имеются два канала передачи данных. При поступлении очередной заявки в интервале времени [0\ldots  T_{2}] вероятности того, что каналы А и В будут свободны, соответственно равны Р_{1А} и Р_{1В}. При поступлении заявок после времени Т_{2} вероятности того, что каналы А и В будут свободны, соответственно равны Р_{2А} и Р_{2В}. Сообщение передаётся по любому свободному каналу. Если оба канала заняты, заявка теряется.

Построить имитационную модель "Обработка запросов на узле связи" с целью определения абсолютного и относительного числа потерянных заявок из их общего количества, поступивших на узел связи за время T _{MOD}, T_{MOD} > T_{2}. Получить уравнение регрессии, связывающее относительную долю обслуженных заявок с интервалами их поступления и вероятностями P _{1A}, P _{1B}, P_{2A}, P_{2B}.

Решение

Имитационная модель построена в соответствии с алгоритмом (см. рис. 3.21). Для построения уравнения регрессии введем обозначения:

y - отклик модели, вероятность ремонта СС с неисправными блоками C, D и A, B, D за время T_{0} ;

x_{1} - фактор, представляющий вероятность P1А ;

x_{2} - фактор, представляющий вероятность P1В ;

x_{3} - фактор, представляющий вероятность P2А ;

x_{4} - фактор, представляющий вероятность P2В ;

x_{5} - фактор, представляющий интервалы поступления заявок Т.

Исходные данные и результаты эксперимента приведены в табл. 5.14. Для регрессионного анализа также использовалась функция "Регрессия" MS Excel. Получено искомое уравнение:

\overline{y} = 0,526135-0,23277x_{1} +0,289906x_{2}-0,48314x_{3}-0,25334x_{4} +1,48E-05x_{5} .
Таблица 5.14. Результаты эксперимента с моделью "Обработка запросов на узле связи"
Номер отклика Y P1A P1B P2A P2B T
1 0,405 0,5 0,7 0,3 0,3 1
2 0,406 0,5 0,7 0,3 0,3 9
3 0,09 0,5 0,7 0,3 0,9 1
4 0,09 0,5 0,7 0,3 0,9 9
5 0,195 0,5 0,7 0,7 0,3 1
6 0,195 0,5 0,7 0,7 0,3 9
7 0,06 0,5 0,7 0,7 0,9 1
8 0,06 0,5 0,7 0,7 0,9 9
9 0,38 0,5 0,9 0,3 0,3 1
10 0,38 0,5 0,9 0,3 0,3 9
11 0,65 0,5 0,9 0,3 0,9 1
12 0,65 0,5 0,9 0,3 0,9 9
13 0,17 0,5 0,9 0,7 0,3 1
14 0,17 0,5 0,9 0,7 0,3 9
15 0,035 0,5 0,9 0,7 0,9 1
16 0,0348 0,5 0,9 0,7 0,9 9
17 0,375 0,9 0,7 0,3 0,3 1
18 0,376 0,9 0,7 0,3 0,3 9
19 0,06 0,9 0,7 0,3 0,9 1
20 0,06 0,9 0,7 0,3 0,9 9
21 0,165 0,9 0,7 0,7 0,3 1
22 0,165 0,9 0,7 0,7 0,3 9
23 0,03 0,9 0,7 0,7 0,9 1
24 0,0301 0,9 0,7 0,7 0,9 9
25 0,37 0,9 0,9 0,3 0,3 1
26 0,37 0,9 0,9 0,3 0,3 9
27 0,055 0,9 0,9 0,3 0,9 1
28 0,055 0,9 0,9 0,3 0,9 9
29 0,16 0,9 0,9 0,7 0,3 1
30 0,16 0,9 0,9 0,7 0,3 9
31 0,025 0,9 0,9 0,7 0,9 1
32 0,025 0,9 0,9 0,7 0,9 9

Результаты регрессионного анализа, аналогичные рассмотренным в примере 5.9 (табл. 5.13), приведены в табл. 5.15.

Таблица 5.15. Результаты регрессионного анализа
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика
Y -пересечение 0,526135 0,211881 2,483165
Переменная X1 -0,23277 0,112257 -2,0735
Переменная X2 0,289906 0,224514 1,291259
Переменная X3 -0,48314 0,112257 -4,30387
Переменная X4 -0,25334 0,074838 -3,38522
Переменная X5 1,48E-05 0,005613 0,002645
Наблюдение Предсказанное Y Остатки Стандартные остатки
1 0,391756 0,013244 0,113864
2 0,391875 0,014125 0,12144
3 0,23975 -0,14975 -1,28748
4 0,239869 -0,14987 -1,2885
5 0,1985 -0,0035 -0,03009
6 0,198619 -0,00362 -0,03111
7 0,046494 0,013506 0,116121
8 0,046613 0,013387 0,1151
9 0,449738 -0,06974 -0,59957
10 0,449856 -0,06986 -0,60059
11 0,297731 0,352269 3,02865
12 0,29785 0,35215 3,027629
13 0,256481 -0,08648 -0,74353
14 0,2566 -0,0866 -0,74455
15 0,104475 -0,06948 -0,59732
16 0,104594 -0,06979 -0,60006
17 0,29865 0,07635 0,656423
18 0,298769 0,077231 0,664
19 0,146644 -0,08664 -0,74492
20 0,146763 -0,08676 -0,74595
21 0,105394 0,059606 0,512468
22 0,105513 0,059487 0,511447
23 -0,04661 0,076612 0,65868
24 -0,04649 0,076594 0,658519
25 0,356631 0,013369 0,114939
26 0,35675 0,01325 0,113918
27 0,204625 -0,14963 -1,28641
28 0,204744 -0,14974 -1,28743
29 0,163375 -0,00338 -0,02902
30 0,163494 -0,00349 -0,03004
31 0,011369 0,013631 0,117195
32 0,011488 0,013512 0,116174

Вопросы для самоконтроля

  1. Что понимают под характеристикой случайных величин и процессов?
  2. Что такое несмещенная оценка характеристики случайной величины? Состоятельная? Эффективная?
  3. Что характеризует гистограмма? Правило построения гистограммы.
  4. В чем состоит сущность дисперсионного анализа?
  5. Что такое ошибки первого рода и второго рода при оценке гипотез?
  6. Что такое F - распределение и почему оно является мерой сравнения дисперсий случайных величин?
  7. Для чего используется критерий Вилькоксона?
  8. В чем состоит методика выявления несущественных факторов?
  9. Назначение корреляционного анализа.
  10. Назначение регрессионного анализа.
  11. Представьте графически виды корреляции между двумя переменными.
  12. Составьте систему уравнений для определения коэффициентов регрессии модели вида:
    \overline{y}=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_2^2
  13. Для линейной и нелинейной моделей, полученных в п. 5.12, вычислить и сравнить ошибки \varepsilon и \varepsilon_{0} .
  14. С объектом проведено N =6 экспериментов. Данные экспериментов приведены в таблице:
    Измерения Эксперименты \sum
    1 2 3 4 5 6
    x_l 2 1 4 3 6 5
    y_l 3 2 5 4 8 7
    x_l y_l
    x_l^2
    \overline{ y}_l
    |\overline{ y}_l-y|

    Построить линейную математическую модель функционирования объекта вида: у = b_{0}+b_{1}х +\varepsilon . Расчеты провести в таблице. Проверьте адекватность модели при абсолютной точности 0,2.

Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?

 

Владимир Крюков
Владимир Крюков
Казахстан