НОУ ИНТУИТ | Основы теории информации и криптографии. Лекция 11: Понятие о кодах Боуза-Чоудхури-Хоккенгема

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 11.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

Аннотация: Рассказывается методика построения кодов, минимальное расстояние между кодовыми словами которых равно заданному числу. Математическое обосновании кодов Боуза-Чоудхури-Хоккенгема, упражнения для самопроверки. Рассматриваются циклические избыточные коды(CRC) и их применение на практике

Ключевые слова: расстояние, BCH, многочлен, примитивным, длина, слово, код хэмминга, cyclicity, redundancy check, CRC, вычисление, полином, остаток, CCITT, нумерация, деление

Остался открытым вопрос о методике построения кодов, минимальное расстояние между кодовыми словами которых равно заданному числу. В 1960 году независимо Боуз (Bose), Чоудхури (Chaudhuri) и Хоккенгем (Hocquengem) открыли способ построения полиномиальных кодов, удовлетворяющих таким требованиям. Эти коды получили названия кодов Боуза-Чоудхури-Хоккенгема или БЧХ-кодов (BCH codes). БЧХ-коды могут быть не только двоичными, например, на практике достаточно широко используются недвоичные коды Рида-Соломона (Reed, Solomon), но далее будут рассматриваться только двоичные.

Многочлен g(x) степени называется примитивным, если x^j+1 делится на g(x) без остатка для j=2^k-1 и не делится ни для какого меньшего значения .

Например, многочлен 1+x^2+x^3 примитивен: он делит x^7+1 , но не делит x^j+1 при j<7 . Примитивен также многочлен 1+x^3+x^4 - он делит $x^{15}+1$ , но не делит x^j+1 при j<15 .

Кодирующий многочлен g(x) для БЧХ-кода, длина кодовых слов которого , строится так. Находится примитивный многочлен минимальной степени такой, что $n\le2^q-1$ или $q\ge\log_2(n+1)$ . Пусть $\alpha$ - корень этого многочлена, тогда рассмотрим кодирующий многочлен $g(x)=\hbox{НОК}(m_1(x), \ldots, m_{d-1}(x))$ , где $m_1(x),\ldots,m_{d-1}(x)$ - многочлены минимальной степени, имеющие корнями соответственно $\alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^{d-1}$ .

Построенный кодирующий многочлен производит код с минимальным расстоянием между кодовыми словами, не меньшим , и длиной кодовых слов n [1].

Пример. Нужно построить БЧХ-код с длиной кодовых слов n=15 и минимальным расстоянием между кодовыми словами d=5 . Степень примитивного многочлена равна $q=\log_2(n+1)=4$ и сам он равен x^4+x^3+1 . Пусть $\alpha$ - его корень, тогда $\alpha^2$ и $\alpha^4$ - также его корни. Минимальным многочленом для $\alpha^3$ будет x^4+x^3+x^2+x+1 . Следовательно,

$g(x)=\hbox{НОК}(x^4+x^3+1, x^4+x^3+x^2+x+1)=$

=(x^4+x^3+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=
x^8+x^4+x^2+x+1.

Степень полученного многочлена равна 8, следовательно, построенный БЧХ-код будет (7,15)

-кодом. Слово 1000100 или a(x)=x^4+1

будет закодировано кодовым словом $a(x)g(x)=x^{12}+x^6+x^5+x^2+x+1$ или 111001100000100.

Можно построить¹¹ двоичный БЧХ-код с кодовыми словами длины n=2^q-1 и нечетным минимальным расстоянием , у которого число контрольных символов не больше $\displaystyle{q(d-1)\over2}$ .

Первый БЧХ-код, примененный на практике, был (92,127) -кодом, исправляющим ошибки кратности до 5, но наиболее широкое распространение получил (231,255) -код, обнаруживающий ошибки кратности до 6.

БЧХ-коды умеренной длины не слишком далеки от совершенных или квазисовершенных кодов. Коды Хэмминга, например, являются БЧХ-кодами, а БЧХ-коды с минимальным весом кодового слова 5 - квазисовершенны. Но с ростом длины кодовых слов качество БЧХ-кодов падает. Код Голея, например, - это не код БЧХ.

Упражнение 45 Найти кодирующий многочлен БЧХ-кода g(x) с длиной кодовых слов 15 и минимальным расстоянием между кодовыми словами 7. Использовать примитивный многочлен m_1(x)=1+x+x^4 с корнем $\alpha$ . Проверить, будут ли $\alpha^3$ и $\alpha^5$ корнями соответственно многочленов m_3(x)=1+x+x^2+x^3+x^4 и m_5(x)=1+x+x^2 .

Циклические избыточные коды

Циклический избыточный код (Cyclical Redundancy Check - CRC) имеет фиксированную длину и используется для обнаружения ошибок. Наибольшее распространения получили коды CRC-16 и CRC-32, имеющие длину 16 и 32 бита соответственно. Код CRC строится по исходному сообщению произвольной длины, т.е. этот код не является блочным в строгом смысле этого слова. Но при каждом конкретном применении этот код - блочный, (m,m+16) -код для CRC-16 или (m,m+32) -код для CRC-32.

Вычисление значения кода CRC происходит посредством деления многочлена, соответствующего исходному сообщению (полином-сообщение), на фиксированный многочлен (полином-генератор). Остаток от такого деления и есть код CRC, соответствующий исходному сообщению. Для кода CRC-16 полином-генератор имеет степень 16, а для CRC-32 - 32. Полиномы-генераторы подбираются специальным образом и для кодов CRC-16/32 стандартизированы Международным консультативным комитетом по телеграфной и телефонной связи (CCITT). Для CRC-16, например, стандартным является полином-генератор $x^{16}+x^{12}+x^5+1$ .

Пример построения CRC-4 кода для сообщения 11010111, используя полином-генератор x^4+x^3+x^2+1 . Исходному сообщению соответствует полином x^7+x^6+x^4+x^2+x+1 , т.е. нумерация битов здесь начинается справа.

$\smallskip \setbox\bzero=\vbox{\hsize=200pt\parindent0pt\obeylines $x^7+x^6+x^4+x^2+x+1 \ \ \ \vrule \underline{\;x^4+x^3+x^2+1}$ $\underline{x^7+x^6+x^5+x^3}\hskip45.2pt% \smash{\vrule height 12pt depth 2pt} \;x^3+x$ $\ x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ $\ \underline{x^5+x^4+x^3+x}$ $\ \ x^2+1$} \centerline{\box\bzero} \smallskip$

Полиному x^2+1 соответствуют биты 0101 - это и есть CRC-4 код.

Существуют быстрые алгоритмы для расчета CRC-кодов, использующие специальные таблицы, а не деление многочленов с остатком.

CRC-коды способны обнаруживать одиночную ошибку в любой позиции и, кроме того, многочисленные комбинации кратных ошибок, расположенных близко друг от друга. При реальной передаче или хранении информации ошибки обычно группируются на некотором участке, а не распределяются равномерно по всей длине данных. Таким образом, хотя для идеального случая двоичного симметричного канала CRC-коды не имеют никаких теоретических преимуществ по сравнению, например, с простыми контрольными суммами, для реальных систем эти коды являются очень полезными.

Коды CRC используются очень широко: модемами, телекоммуникационными программами, программами архивации и проверки целостности данных и многими другими программными и аппаратными компонентами вычислительных систем.

Упражнение 46 Построить CRC-4 код для сообщений 10000000 и 101111001, используя полином-генератор x^4+1 .

Дальше >>

Авторизоваться

Основы теории информации и криптографии

Понятие о кодах Боуза-Чоудхури-Хоккенгема

Циклические избыточные коды

Вопросы и ответы